F:=x->x^2*cos(PI/x^2)
Stetige Stammfunktion und doch keine volle Integrierbarkeit
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 4, Sept 07 Update 21.09.07
Web: https://mathe.web.leuphana.de www.mathematik-verstehen.de ######################################################
Hier gibt es überall stetige und differenzierbare Funktionen, die man
"nicht durchzeichnen kann".
F:=x->x^2*cos(PI/x^2)
plotfunc2d(x^2,F(x),-x^2,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-1..1)
Ersichtlich ist F stetig
F'(x)
Der Differentialquotient bei x=0 existiert.
limit(F(h)/h,h=0)
F ist auch überall differenzierbar.
Dennoch hat die Ableitung eine Unstetigkeitsstelle, x=0, und ist nicht beschränkt.
Zudem oszilliert auch f
f:=x-->F'(x)
plotfunc2d(2*x+2*PI/x,f(x),-2*x-2*PI/x,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-50..50)
int(f(x), x)
int(f(x), x);
int(f(x), x=c..1/2);
int(f(x), x=0..1/2);
F(1/2);
Obwohl f alsobei x=0 bis ins Unendliche wächst und obwohl die Fläche
unter den berandenden Funktionen unendlich ist, hat das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert.
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Nun drücke ich den Graphen bei 0 noch stärker zusammen
F:=x->x^3*cos(PI/x^2)
plotfunc2d(x^3,F(x),-x^3,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-1..1)
F'(x)
Der Differentialquotient bei x=0 existiert.
limit(F(h)/h,h=0)
Dennoch ist die Ableitung nicht stetig in 0
f:=x-->F'(x)
plotfunc2d(2*x^2+2*PI,f(x),-2*x^2-2*PI,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-50..50)
Dennoch ist f Riemann-integrierbar
int(f(x), x);
int(f(x), x=0..0.5)
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Nun drücke ich den Graphen bei 0 noch stärker zusammen
F:=x->x^4*cos(PI/x^2)
plotfunc2d(x^4,F(x),-x^4,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-1..1)
F'(x)
Der Differentialquotient bei x=0 existiert.
limit(F(h)/h,h=0)
Nun aber ist die Ableitung stetig in 0
f:=x-->F'(x)
plotfunc2d(4*x^3+2*PI*x,f(x),-4*x^3-2*PI*x,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-10..10)
int(f(x), x)
F:=x->x^2*cos(1/x);
F'(x)
plotfunc2d(F'(x))
Mein altes Beispiel: Sinuswunderdinge
F:=x->x^2*cos(PI/x)
plotfunc2d(x^2,F(x),-x^2,x=-2..2,ViewingBoxYRange=-1..1)
F'(x)
Der Differentialquotient bei x=0 existiert.
limit(F(h)/h,h=0)
Nun aber ist die Ableitung unstetig
f:=x-->F'(x)
plotfunc2d(2*x,f(x),x=-2..2)
int(f(x), x);
int(f(x), x=0..1/2);
