saiteDGL:=y->diff(y(x,t), t,t)=`α`^2*diff(y(x,t), x,x)
Riemann und die Wellengleichung
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 4, Sept 07 Update 21.09.07
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Dateiname riemann-trig.mn
saiteDGL:=y->diff(y(x,t), t,t)=`α`^2*diff(y(x,t), x,x)
Differentialgleichung einer schwingenden Saite
f:=(x,t)->sin(k*PI*x)*cos(k*PI*`α`*(t-`β`));
diff(f(x,t),t,t);
diff(f(x,t),x,x);
saiteDGL(f)
Linke Seite = rechte Seite Also ist f ein Lösung der DGL
Wenn k ganze Zahl ist, sind die Randbedingungen bei einer Saitenlänge von 1 von allein erfüllt.
Die Anfangsbedingung: für t=0 ist die Saite straff:
f(0,t),f(1,t),f(x,0)
Damit die letzte Bedingung für alle x Null wird, muss der Kosinus 0 werden
solve(`α`*`β`*k=1/2,`β`)
expand(cos(r-s))
f(x,t)|`&beta`=1/(2*`α`*k)
expand(cos((hold(k*PI*`α`*t))-PI/2));
f:=x->sin(k*PI*x)*sin(k*PI*`α`*t)
k:=3:
plotfunc3d(f(x,t),x=0..1,`α`=0..1,t=0..2*PI);
f(x,t)
plotfunc2d(f(x,t)|`α`=1,x=0..1,t=0..60*PI)
delete k:
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Addition dieser Funktionen , 6 Summanden, dem 1. ein 4-faches Gewicht gegeben
trigS:=4*(f(x,t)|k=1)+ (f(x,t)|k=2)+(f(x,t)|k=3)+
(f(x,t)|k=4)+ (f(x,t)|k=5)+(f(x,t)|k=6):
`α`:=1:
plotfunc2d(trigS,x=0..8,t=0..8*PI)
`α`:=1:
plotfunc2d(trigS,x=0..1,t=0..2*PI)
plotfunc3d(trigS,x=0..1,t=0..2*PI)
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