Kurvendiskussion

Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 4,  Update Jan 08

https://mathe.web.leuphana.de                    www.mathematik-verstehen.de                       

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Autoren:(ehem) Studentinnen: Sandra Gorgas, Maike Mecklenburg,MuPAD 2.5

umgeschrieben auf MuPAD 4 von Haftendorn

Funktionen: plotfunc2d, f',f'', discont, GridVisible, solve, limit

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Definieren sie die Funktion:

f:=x->x^3 - x+3

math

:= bennent den rechten Teil mit Namen hier: f. Der Name darf nicht f(x) lauten, da es Probleme

mit der Zuordnung gibt.

x-> kennzeichnet es als Funktion von x. Nur dann ist später Ableitung bilden mit f' möglich.

1. Skizze des Graphen

plotfunc2d(f(x))

MuPAD graphics

Das sieht nun so aus, als habe f einen Sattel. Am Funktionsterm kann man aber sehen,

dass das nicht stimmen kann. Man denkt sich f aus zwei Bausteinen aufgebaut:

1.)  den durch x^3 erzeugten Sattel

2.) die fallende Gerade y= - x+3

dann die Sattelfunktion aufsetzt auf die Gerade. y-Bereich drastisch eingrenzt.

plotfunc2d(f(x),-x+3,x^3, ViewingBox=[-3..3,-5..10])

MuPAD graphics

 

Unstetigkeit kann es bei einem Polynom nicht geben, für alle Fälle aber:

2. Unstetigkeitsstellen

Problemstellen:=discont(f(x),x)

math

das x (hinten in der Klammer) bedeutet, dass es nach x berechnet werden soll

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Der Definitionsberech ist bei Polynomen immer ganz R, aber:

3. Definitionsbereich, eher bei gebrochen-rationalen Funktionen

sinnvoll daher hier für den Kehrwert durchgeführt:

discont(1/f(x),x)

math

Hier zu sehen, dass die Nullstellen von f die Polstellen von 1/f sind. Klar.

4. y-Achsenabschnitt

f(0)

math

 

5. Nullstellenberechnung

nst:=numeric::solve(f(x)=0,x)

math

solve(f(x)=0,x)

math

solve  ist ein exakter Gleichungslöser. Der erledigt dieses Problem nicht.

Sie Extra-Seiten bei Agebra zu Gleichungen, besonders zu Cardanischen Folmeln.

Daher nuss der numerische Gleichungslöser genommen werden.

 

Dabei werden auch die komplexen Lösungen angezeigt.

Alle komplexen Zahlen erkennt man am i.

hier: nur eine reelle Lösung -2,08674534.

 

Man konnte  ja schon mit Sicherheit am Graphen sehen, dass es nur eine einfache reelle

Nullstelle gibt. Die greift man so heraus:

x0:=nst[1]; f(x0);

math

math

6. Ableitungen bilden auf mehrere Arten

Abl1:=diff(f(x),x);

f'(x);

ff:=D(f);  ff(x)

math

math

math

math

Nun dort einen Wert einsetzen:

subs(Abl1, x = 3)

math

f'(3);ff(3)

math

math

Abl1 ist nur ein Term. In den muss man mit subs(term, x=zahl) einsetzen.

f'  ist eine Funktion von x, wie es sich gehört. Darum kann man f'(zahl) bilden.

Mit der Version ff ist hier gezeigt, wie man selbst eine Funktion aus einer

Ableitung machen kann.

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Zweite Ableitung:

f''(x);

Abl2:=diff(diff(f(x),x),x);

fg:=diff(f'(x),x);

fff:=D(ff);

math

math

math

math

Mit der Version fff ist hier gezeigt, wie man selbst eine Funktion aus einer

Ableitung machen kann.

f''(3);

fff(3)

math

math

fff'(x);

f'''(x)

math

math

Es gibt 3 Möglichkeiten Ableitungen zu bilden. 1. mit f'(x) oder 2. mif D(f) und 3. mit diff(f(x),x).

Dabei funktioniert der einfache Strich nur für Funktionen von einer Variablen.

Parameter dürfen dabei sein, sofern sie nicht im Funktionsaufruf vorkommen.

Die Version immer nur mit Termen zu arbeiten -wie hier Abl1...- ist nicht so gut,

da man Einsetzungen dann nur mit subs(...) vornehmen kann.

 

7. Extrema bestimmen

Ext:=solve(f'(x)=0,x)

math

Wende:=solve(f''(x)=0,x)

math

 

8. Prüfung der Extrema

Diese Prüfung ist unsinnig, da Polynome 3.Grades nur dann eine Sattel haben können,

wenn die beiden Nullstellen von f' zusammenfallen. Existieren zwei verschieden Nullstellen von f'

beim Polynom 3. Grades, dann müssen es wirkliche Extremstellen sein.

f''(xe) $ xe in Ext;

math

[xe,f(xe)] $ xe in Ext;

math

map(%,float)

math

Hier stehen nun die Extrema.

f'''(xw) $ xw in Wende

math

[xw,f(xw)] $ xw in Wende;

 

math

Dieses ist der Wendepunkt.

Eine Prüfung wäre unsinnig, da Polynome 3.Grades mit 2 Extrema einen

Wendepunkt haben müssen.

 

Man beachte, dass man die  Funktionen nicht auf Mengen anwenden kann.

Das kann man beim TI-voyage, in Mathematica und einigen Systemen.

Man hilft sich mit "$ x in Menge" wie oben oder mit map(menge, fktname)

map(Ext,f)

math

 

Manchmal ist bei Kurvendiskussionen die Bestimmung einer Asymptote verlangt.

9. Waagerechte Asymptote bestimmen für Kehrwert-Funktion

limit(1/f(x),x=-infinity), limit(1/f(x),x=infinity)

math

Schräge Asymptoten können so nicht bestimmt werden

Da muss man die Asymptote raten oder mit einem passenden Verfahren

bestimmen und dann abziehen.

 

10. Exakte Zeichnung des Graphen

plotfunc2d(x^3-x+3,x=-3..3,YRange=-1..5

      ,GridVisible=TRUE,Scaling=Constrained)

MuPAD graphics

Mit Scaling=Constrained sorgt man für gleichen Maßstab in x und y.