Kurvenschar-Diskussion
Analysis mit MuPAD 3.11, mit Kurven der Extrema und der Wendepunkte
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 3.1.1, Jan 06 Update 05.01.06
Web: www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt www.uni-lueneburg.de/ing-math
Achtung: Menu ->Notebook->Evaluiere->Alle Eingaben
######################################################

• f:=(x,k)->x^2*(x-k)*(x-2)

• fani:=plot::Function2d(f(x,k),x=-2..3,k=-1..3,
         ViewingBoxYRange=-3..3, Color=RGB::Red, LineWidth=1):
  plot(fani);

Animation: In der Graphik doppelklicken, dann Player bedienen.
Die Animation geht auch mit dem einfachen plotfunc2d. Hier soll aber später die Kurve
der Extrema hinzugefügt werden. Daher braucht man Graphik-Primitive, wie man sie durch
plot::xxxxxxxx erhält. Die werden dann von plot(...) dargestellt.

• fanika:=plot::Function2d(f(x,k),x=0..2,k=-1..3,
         ViewingBoxYRange=-3..3, Color=RGB::Red, LineWidth=1):
  plot(fanika);

• alle:=f(x,k) $ k=-1..3

• plotfunc2d(alle,x=-1.2..3,YRange=-3..3,
                  GridVisible=TRUE)

Die Nullstellen sind hier offensichtlich: Gemeinsame doppelte Nullstelle x=0, Berührung,
Gemeinsame Nullestelle bei x=2, weitere Nullstalle bei x=k.
Für k=2 ist auch diese Nullstelle doppelt, also Berührung, sonst ist sie einfach.
für k=0 ist die bei x=0 dreifach, also Sattel, sonst sind alle anderen Nullstellen einfach.
Automatische Bestimmung der Nullstellen:

• nst=solve(f(x,k)=0,x)

Die Vielfachheiten sind nicht zu sehen. Die Klammerform ist aussagekräftiger.

• solve(f(x,k)=0,x, Multiple)

Multiple gibt die Vielfachheit mit aus.

• ausmulti:=expand(f(x,k))

Wenn nun diese Form gegeben wäre, könnte man die Klammerform herstellen.

• factor(ausmulti)

Ableitung und zugehörige Rechnungen

• f

• ableit:=diff(f(x,k),x)

• simplify(ableit)

• ableit:=factor(%)

• plotfunc2d(subs(ableit, k=2),x=-3..3,YRange=-3..3)

• plotfunc2d(subs(ableit),x=-3..3,k=-2..2,YRange=-3..3)

• subs(ableit, k=2)

• ableit

• xe:=solve(ableit=0,x)

• extremstellen:=float(xe) $ k=-1..2

Achtung, bei Mengen wird die Reihenfolge nicht beibehalten.
ExtremPunkte für k=2:

• [xex,f(xex,2)] $ xex in subs(xe,k=2);

• f(x,2)

Diese Schar-Funktion hat also, wie man gleich sieht, zwei doppelte Nullstellen
und in der Mitte dazwischen ein Maximum.

• [xex,f(xex,i)] $ xex in subs(xe,k=i) $ i=-1..3:

• matrix([map(%,float)]);

• solve(9*k^2-28*k+36=0,k)

Die Diskriminate wird nie Null, damit existieren i.a. drei Extrempounkte.
Kurve der Extrema

• lo:=solve(ableit=0,k)

Die Gleichung Ableitung=0 ist nach k aufzulösen.
Von diesen ist die mittlere die gesuchte.

• kk:=lo[2][1]

Dieser Term ist für k in f(x,k) einzusetzen

• kurveextrema:=subs(f(x,k),k=kk)

• factor(kurveextrema)

Dieses ist der Funktionsterm der Kurve der Extrema.
Man sieht einen Sattel bei 0, einen Pol bei x=4/3 und eine doppelte Nullstelle bei 2.

• plotfunc2d(alle,kurveextrema,x=-1.2..3,YRange=-3..3,
  GridVisible=TRUE, LineWidth=0.8)
  

Hier sieht man, dass die Kurve der Extrem (hier blau) gut passt.

Wendepunkte

• zw_abl:=diff(ableit,x)

• simplify(zw_abl)

• solve(zw_abl=0,x)

Das sind unangenehme Terme.

• solve(3*k^2-4*k+12=0,k)

Die Diskriminante wird aber nie Null, damit exitieren
stets zwei Wendepunkte.

• wp:=solve(zw_abl=0,k)

• wwp:=wp[1][1]

• kurvewend:=subs(f(x,k),k=wwp)

• factor(kurvewend)

Auch die Kurve der Wendepunkte hat einen Sattel im Ursprung.
Sie hat einen Pol bei x=2/3 und einfache Nullstellen bei x=4/3 und x=2.
Bemerkenswert ist, dass das Intervall [0,2] von diesen beiden
Polstellen genau gedrittelt wird.

• plotfunc2d(alle,kurveextrema,kurvewend,x=-1.2..3,YRange=-3..3,
  GridVisible=TRUE, LineWidth=0.8)

Auch die Kurve der Wendpunkte (hier lila) passt gut.
Nun also alles im animierten Graphen:

• kuexg:=plot::Function2d(kurveextrema,x=-2..3, LineWidth=1,Color=RGB::DarkBlue):
  kuwendg:=plot::Function2d(kurvewend,x=-2..3, LineWidth=1,Color=RGB::Magenta):
  plot(fani,kuexg,kuwendg)

Achtung Graphik animieren!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Integrale

• int(f(x,k), x)

• i2:=int(f(x,k), x=0..2)

• i2 $ k=-1..3

Hierzu ist mir nichts Bemerkenswertes eingefallen.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Für welches k wird das Intergral im Intervall [0,2] Null?

• solve(i2=0,k)

• in1:=plot::Integral(fanika,10)

• plot(in1,fani,fanika)

• f(x,6/5)

• plotfunc2d(f(x,6/5), x=-1..3,YRange=-1..1, 
         Scaling=Constrained)

Bei der Scharkurve mit x=6/5 halten sich also die Flächen über und unter der x-Achse
gerade die Waage.

• f(x,k)

• plotfunc3d(f(x,k))

• fxkg:=plot::Function3d(f(x,k),x=-2..3,k=-1..3)

• plot(fxkg)

• fxkg2:=plot::Function3d(f(x,k),x=-2..3,k=-1..3,ViewingBoxZRange=-3..3):
  plot(fxkg2)

• g:=(x,y)->x^2*y

• form:=plot::Function3d(g(x,y),x=-3..3,y=-1..2): plot(form)

• geradeng:=plot::Curve3d([x,y,g(x,y)], x=-2..3,y=-1..3):
  parg:=plot::Curve3d([x,y,g(x,y)], y=-1..3,x=-2..3):
   plot(geradeng,parg,form)

• gerg:=plot::Curve3d([x,k,f(x,k)], k=-1..3,x=-1..3,
  LineWidth=1, LineColor=RGB::Green):
   plot(gerg,fxkg2)

• polyg:=plot::Curve3d([x,k,f(x,k)], x=-2..3,k=-1..3,
  LineWidth=1,LineColor=[1,1,0]):
   plot(polyg,fxkg2)