Mathematik Verstehen Dörte Haftendorn: Kurvenschar mit MuPAD

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Extremwertaufgaben URL https://mathe.web.leuphana.de/analysis/extremwert/extremwert.htm [Analysis] [Computer] [Dynamische Mathematik]

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Kurvenschar-Diskussion
Analysis mit MuPAD, mit Kurven der Extrema und der Wendepunkte
Prof. Dr.Dörte Haftendorn, Juni 04
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f:=(x,k)->x^2*(x-k)*(x-2)

alle:=f(x,k) $ k=-1..3

plotfunc2d(alle,x=-1.2..3,y=-3..3,
Scaling=Constrained,GridLines=Automatic)

Die Nullstellen sind hier offensichtlich: Gemeinsame doppelte Nullstelle x=0, Berührung,
Gemeinsame Nullestelle bei x=2, weitere Nullstalle bei x=k.
Für k=2 ist auch diese Nullstelle doppelt, also Berührung, sonst ist sie einfach.
für k=0 ist die bei x=0 dreifach, also Sattel, sonst sind alle anderen Nullstellen einfach.
Automatische Bestimmung der Nullstellen:

nst=solve(f(x,k)=0,x)

Die Vielfachheiten sind nicht zu sehen. Die Klammerform ist aussagekräftiger.

solve(f(x,k)=0,x, Multiple)

Multiple gibt die Vielfachheit mit aus.

ausmulti:=expand(f(x,k))

Wenn nun diese Form gegeben wäre, könnte man die Klammerform herstellen.

factor(ausmulti)

Ableitung und zugehörige Rechnungen

f

ableit:=diff(f(x,k),x)

simplify(ableit)

ableit:=factor(%)

plotfunc2d(subs(ableit, k=2),x=-3..3,y=-3..3)

subs(ableit, k=2)

ableit

xe:=solve(ableit=0,x)

extremstellen:=float(xe) $ k=-1..2

solve(9*k^2-28*k+36=0,k)

Die Diskriminate wird nie Null, damit existieren i.a. drei Extrempounkte.
Für k=2

extremwertek:=f(op(xe,i),k) $i=1..nops(xe):

map(extremwertek,expand):// Wahnsinnsterme!!!

[k,map(extremwertek,float)] $ k=-1..2

Kurve der Extrema

lo:=solve(ableit=0,k)

Die Gleichung Ableitung=0 ist nach k aufzulösen.
Von diesen ist die mittlere die gesuchte.
Dieser Term ist für k in f(x,k) einzusetzen

kurveextrema:=subs(f(x,k),k=(6*x-4*x^2)/(4-3*x))

factor(kurveextrema)

Dieses ist der Funktionsterm der Kurve der Extrema.
Man sieht einen Sattel bei 0, einen Pol bei x=4/3 und eine doppelte Nullstelle bei 2.

plotfunc2d(alle,kurveextrema,x=-1.2..3,y=-3..3,
Scaling=Constrained,GridLines=Automatic)

Hier sieht man, dass die Kurve der Extrem (hier blau) gut passt.

Wendepunkte

zw_abl:=diff(ableit,x)

simplify(zw_abl)

solve(zw_abl=0,x)

Das unangenehme Terme.

solve(3*k^2-4*k+12=0,k)

Die Diskriminante wird aber nie Null, damit exitieren
stets zwei Wendepunkte.

wp:=solve(zw_abl=0,k)

kurvewend:=subs(f(x,k),k=(-12*x^2+12*x)/(4-6*x))

factor(kurvewend)

Auch die Kurve der Wendepunkte hat einen Sattel im Ursprung.
Sie hat einen Pol bei x=2/3 und einfache Nullstellen bei x=4/3 und x=2.

plotfunc2d(alle,kurveextrema,kurvewend,x=-1.2..3,y=-3..3,
Scaling=Constrained,GridLines=Automatic)

Auch die Kurve der Wendpunkte (hier blau) passt gut.
Integrale

int(f(x,k), x)

int(f(x,k), x=0..2)

f3 := plot::Function2d(f(x,3), x = -1..3,y=-3..4):

p := student::plotRiemann(f(x,3), x = 0..2, 50):
plot(p,f3,Scaling=Constrained,GridLines=Automatic)

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