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Sinuswundern ![x^k Sin(1/x)](index_1.gif)
Prof. Dr. Dörte Haftendorn Ha 6/99 6/01 7/03
![f[x_] := Sin[1/x] ; f[0] = 0 ; f '[x] f[h]/h (* Differenzenquotient für x = 0 *) f ''[x] ... 1}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-1, 1.5}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_2.gif)
![-cos(1/x)/x^2](index_3.gif)
![sin(1/h)/h](index_4.gif)
![(2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4](index_5.gif)
![[Graphics:index_6.gif]](index_6.gif)
![Limit[f[x], x -> 0] (* nicht stetig in x = 0 *) <br /> Limit[f '[x], x -> 0] <br /> Limit[f[h]/h, h -> 0] (* Differenzialquotient für x = 0 ex . nicht *)](index_7.gif)
![Interval[{-1, 1}]](index_8.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_9.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_10.gif)
![h[x_] := x Sin[1/x] h '[x] h[k]/k (* Differenzenquotient für x = 0 *) h ''[x] hGraph = Pl ... x}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-1, 1.5}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_11.gif)
![sin(1/x) - cos(1/x)/x](index_12.gif)
![sin(1/k)](index_13.gif)
![x ((2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4) - (2 cos(1/x))/x^2](index_14.gif)
![[Graphics:index_15.gif]](index_15.gif)
![Limit[h[x], x -> 0] Limit[h '[x], x -> 0] Limit[h[k]/k, k -> 0] (* Differenzialquotient für x = 0 ex . nicht *) Limit[h ' '[x], x -> 0]](index_16.gif)
![0](index_17.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_18.gif)
![Interval[{-1, 1}]](index_19.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_20.gif)
•Asyptotengewinnung aus der Taylorreihe
•Tranformation
in ![1/z Sin[z] - asy[1/z] Overscript[->, z -> 0] 0](index_22.gif)
![tay[z_] := Normal[Series[Sin[z], {z, 0, 6}]]](index_23.gif)
![Clear[as] ; (1/z tay[z] // Expand) - as](index_24.gif)
![z^4/120 - z^2/6 - as + 1](index_25.gif)
•Wenn dieser Term für z->0 gegen 0 gehen soll, muss gelten:
![as = 1 /. z -> 1/x](index_26.gif)
![1](index_27.gif)
![hAsyGraph = Plot[{h[x], x, -x, 1}, {x, -3, 2}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-1, 2}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_28.gif)
![[Graphics:index_29.gif]](index_29.gif)
![Limit[h[x] - 1, x -> ∞] (* Asymptote y = 1 *) Limit[h '[x], x -> ∞] Limit[h ''[x], x -> ∞]](index_30.gif)
![0](index_31.gif)
![0](index_32.gif)
![0](index_33.gif)
![hh[x_] := x^2 Sin[1/x] hh '[x] hh[h]/h (* Differenzenquotient für x = 0 *) hh ''[x]](index_34.gif)
![2 x sin(1/x) - cos(1/x)](index_35.gif)
![h sin(1/h)](index_36.gif)
![((2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4) x^2 + 2 sin(1/x) - (4 cos(1/x))/x](index_37.gif)
![hhGraph = Plot[{hh[x], x^2, -x^2}, {x, -2, 2}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-1, 1}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_38.gif)
![[Graphics:index_39.gif]](index_39.gif)
![Limit[hh[x], x -> 0] Limit[hh '[x], x -> 0] <br /> (* nicht stetig in x = 0 *) Limit[hh[h]/h, h -> 0] (* Differenzialquotient für x = 0 ex . *) Limit[hh ' '[x], x -> 0]](index_40.gif)
![0](index_41.gif)
![Interval[{-1, 1}]](index_42.gif)
![0](index_43.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_44.gif)
•Asyptotengewinnung aus der Taylorreihe
•Tranformation
in ![1/z^2 Sin[z] - asy[1/z] Overscript[->, z -> 0] 0](index_46.gif)
![tay[z_] := Normal[Series[Sin[z], {z, 0, 7}]]](index_47.gif)
![Clear[ass] ; (1/z^2 tay[z] // Expand) - ass](index_48.gif)
![-z^5/5040 + z^3/120 - z/6 - ass + 1/z](index_49.gif)
•Wenn dieser Term für z->0 gegen 0 gehen soll, muss gelten:
![ass = (1/z) /. z -> 1/x](index_50.gif)
![x](index_51.gif)
![hhAsyGraph = Plot[{hh[x], x^2, -x^2, x}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-3, 3}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_52.gif)
![[Graphics:index_53.gif]](index_53.gif)
![Limit[hh[x] - x, x -> ∞] (* Asymptote y = x *) Limit[hh '[x] - 1, x -> ∞] Limit[hh ''[x], x -> ∞]](index_54.gif)
![0](index_55.gif)
![0](index_56.gif)
![0](index_57.gif)
![hhh[x_] := x^3 Sin[1/x] hhh '[x] hhh[h]/h (* Differenzenquotient für x = 0 *) hhh ''[x]](index_58.gif)
![3 x^2 sin(1/x) - x cos(1/x)](index_59.gif)
![h^2 sin(1/h)](index_60.gif)
![((2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4) x^3 + 6 sin(1/x) x - 6 cos(1/x)](index_61.gif)
![hhhGraph = Plot[{hhh[x], x^3, -x^3}, {x, -.1, .1}, PlotStyle -> farbig (* , PlotRange -> {-0.1, 1}, AspectRatio -> Automatic *)] ;](index_62.gif)
![[Graphics:index_63.gif]](index_63.gif)
![Limit[hhh[x], x -> 0] <br /> Limit[hhh '[x], x -> 0] (* stetig in x = 0 *) <br /> Limit[ ... ferenzialquotient für x = 0 *) Limit[hhh ' '[x], x -> 0] (* Unbeschränkt in x = 0 *)](index_64.gif)
![0](index_65.gif)
![0](index_66.gif)
![0](index_67.gif)
![Interval[{-∞, ∞}]](index_68.gif)
•Asyptotengewinnung aus der Taylorreihe
•Tranformation
in ![1/z^3 Sin[z] - asy[1/z] Overscript[->, z -> 0] 0](index_70.gif)
![tay[z_] := Normal[Series[Sin[z], {z, 0, 7}]]](index_71.gif)
![Clear[asss] ; (1/z^3 tay[z] // Expand) - asss](index_72.gif)
![-z^4/5040 + z^2/120 - asss - 1/6 + 1/z^2](index_73.gif)
•Wenn dieser Term für z->0 gegen 0 gehen soll, muss gelten:
![asss = (1/z^2 - 1/6) /. z -> 1/x](index_74.gif)
![x^2 - 1/6](index_75.gif)
![hhhAsyGraph = Plot[{hhh[x], x^3, -x^3, x^2 - 1/6}, {x, -1, 1}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-0.1, 1}, AspectRatio -> Automatic] ;](index_76.gif)
![[Graphics:index_77.gif]](index_77.gif)
![Limit[hhh[x] - x^2 + 1/6, x -> ∞] (* Asymptote y = x^2 - 1/6 *) Limit[hhh '[x] - 2 x, x -> ∞] Limit[hhh ''[x] - 2, x -> ∞]](index_78.gif)
![0](index_79.gif)
![0](index_80.gif)
![0](index_81.gif)
![hhhh[x_] := x^4 Sin[1/x] hhhh '[x] hhhh[h]/h (* Differenzenquotient für x = 0 *) hhhh ''[x]](index_82.gif)
![4 x^3 sin(1/x) - x^2 cos(1/x)](index_83.gif)
![h^3 sin(1/h)](index_84.gif)
![((2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4) x^4 + 12 sin(1/x) x^2 - 8 cos(1/x) x](index_85.gif)
![hhhhGraph = Plot[{hhhh[x], x^4, -x^4}, {x, -.1, .1}, PlotStyle -> farbig (* , PlotRange -> {-0.1, 1}, AspectRatio -> Automatic *)] ;](index_86.gif)
![[Graphics:index_87.gif]](index_87.gif)
![Limit[hhhh[x], x -> 0] Limit[hhhh '[x], x -> 0] Limit[hhhh[h]/h, h -> 0] (* Differenzialquotient für x = 0 *) Limit[hhhh ' '[x], x -> 0]](index_88.gif)
![0](index_89.gif)
![0](index_90.gif)
![0](index_91.gif)
![Indeterminate](index_92.gif)
•Asyptotengewinnung aus der Taylorreihe
•Tranformation
in ![1/z^4 Sin[z] - asy[1/z] Overscript[->, z -> 0] 0](index_94.gif)
![tay[z_] := Normal[Series[Sin[z], {z, 0, 7}]]](index_95.gif)
![Clear[assss] ; (1/z^4 tay[z] // Expand) - assss](index_96.gif)
![-z^3/5040 + z/120 - assss - 1/(6 z) + 1/z^3](index_97.gif)
•Wenn dieser Term für z->0 gegen 0 gehen soll, muss gelten:
![asss = (1/z^3 - 1/(6 z)) /. z -> 1/x](index_98.gif)
![x^3 - x/6](index_99.gif)
![hhhhAsyGraph = Plot[{hhhh[x], x^4, -x^4, x^3 - 1/6 x}, {x, -0.7, 0.7}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-0.3, .3}] ;](index_100.gif)
![[Graphics:index_101.gif]](index_101.gif)
![Limit[hhhh[x] - x^3 + 1/6 x, x -> ∞] (* Asymptote y = x^3 - 1/6 x *) Limit[hhhh '[x] - 3 x^2 + 1/6, x -> ∞] Limit[hhhh ''[x] - 6 x, x -> ∞]](index_102.gif)
![0](index_103.gif)
![0](index_104.gif)
![0](index_105.gif)
![hhhhh[x_] := x^5 Sin[1/x] hhhhh '[x] hhhhh[h]/h (* Differenzenquotient für x = 0 *) hhhhh ''[x]](index_106.gif)
![5 x^4 sin(1/x) - x^3 cos(1/x)](index_107.gif)
![h^4 sin(1/h)](index_108.gif)
![((2 cos(1/x))/x^3 - sin(1/x)/x^4) x^5 + 20 sin(1/x) x^3 - 10 cos(1/x) x^2](index_109.gif)
![hhhhhGraph = Plot[{hhhhh[x], x^5, -x^5}, {x, -.1, .1}, PlotStyle -> farbig (* , PlotRange -> {-0.1, 1}, AspectRatio -> Automatic *)] ;](index_110.gif)
![[Graphics:index_111.gif]](index_111.gif)
![Limit[hhhhh[x], x -> 0] Limit[hhhhh '[x], x -> 0] Limit[hhhhh[h]/h, h -> 0] (* Differenzialquotient für x = 0 *) Limit[hhhhh ' '[x], x -> 0]](index_112.gif)
![0](index_113.gif)
![0](index_114.gif)
![0](index_115.gif)
![0](index_116.gif)
•Asyptotengewinnung aus der Taylorreihe
•Tranformation
in ![1/z^5 Sin[z] - asy[1/z] Overscript[->, z -> 0] 0](index_118.gif)
![tay[z_] := Normal[Series[Sin[z], {z, 0, 7}]]](index_119.gif)
![Clear[asssss] ; (1/z^5 tay[z] // Expand) - asssss](index_120.gif)
![-z^2/5040 - asssss + 1/120 - 1/(6 z^2) + 1/z^4](index_121.gif)
•Wenn dieser Term für z->0 gegen 0 gehen soll, muss gelten:
![asssss = (1/z^4 - 1/(6 z^2) + 1/120) /. z -> 1/x](index_122.gif)
![x^4 - x^2/6 + 1/120](index_123.gif)
![hhhhhAsyGraph = Plot[{hhhhh[x], x^5, -x^5, x^4 - 1/6 x^2 + 1/120}, {x, -0.5, 0.5}, PlotStyle -> farbig, PlotRange -> {-0.001, .02}] ;](index_124.gif)
![[Graphics:index_125.gif]](index_125.gif)
![Limit[hhhhh[x] - x^4 + 1/6 x^2 - 1/120, x -> ∞] (* Asymptote y = x^4 - 1/6 x^2 + 1/12 ... t[hhhhh '[x] - 4 x^3 + 1/3 x, x -> ∞] Limit[hhhhh ''[x] - 12 x^2 + 1/3, x -> ∞]](index_126.gif)
![0](index_127.gif)
![0](index_128.gif)
![0](index_129.gif)
Converted by Mathematica
(July 27, 2003)