pZ:=x->(x+3)*(x-1);
pN:=x->(x^2-1);
Gebrochenrationale Funktionen LEVEL 2
ungekürzter Term, stetige Fortsetzung
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4, https://mathe.web.leuphana.de Mai 07
Analysis mit MuPAD 4,
Automatische Übersetzung aus MuPAD 3.11, Okt. 05 Version vom Jul.06 update Aug06
Es fehlen noch textliche Änderungen, die MuPAD 4 direkt berücksichtigen, das ist in Arbeit.
Web: https://mathe.web.leuphana.de www.mathematik-verstehen.de
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Beispiel LEVEL 1 gekürzter Term, schräge Asymptote
Beispiel LEVEL 2 ungekürzter Term, stetige Fortsetzung Diese Seite.
Beispiel LEVEL 3 aufwendigerer Funktionstem, mehrere Pole
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Beispiel LEVEL 2
Diese Seite ist kann man für ähnliche Beispiele leicht anpassen.
Dabei muss man vor allem die Lücke x=1 passend ersetzen.
pZ:=x->(x+3)*(x-1);
pN:=x->(x^2-1);
//pZ:=x->(x+3)*(x-1);pN:=x->(x^2-1);
//dies war die Aufgabe, zu der der Test genau passt
f:=x->pZ(x)/pN(x); f(x)
Sofort erkennbar sind die beiden Nullstellen des Zählers bei x=1 und x=-3
und die Nullstellen des Nenners bei x=1 und x= -1.
Aha!!!!!! Zähler und Nenner haben eine gemeinsame Nullstelle.
Zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (3. binomische Formel hier), dann sieht man das noch besser.
factor(pZ(x)),factor(pN(x))
Der Definitionsbereich von f ist 
nichtDef:=discont(f(x),x)
Das wird von MuPAD richtig erkannt.
Allerdings wird sofort gekürzt, wenn die gleiche Linearfaktoren
schon sichtbar sind.
Hier lässt sich der der gemeinsame Linearfaktor vollständig kürzen.
Andere Fälle werden in LEVEL 3 behandelt.
ff:=x->(pZ(x)/factor(pN(x)));
ff(x);
Hier ist ff(1) dennoch nicht nicht bestimmbar.
Also definieren wir:
luecke:=1:
fs:=x->(x+3)/(x+1)
fs(luecke)
Man nennt die Funktion fs die "stetige Forsetzung von f".
f und fs unterscheiden sich nur im Definitionsbereich.
Hier hat fs hat den Definitionsbereich 
Die Graphen von f und fs sehen fast gleich aus, nur hat f an der Stelle x=luecke
eine sogenannte "hebbare Unstetigkeitsstelle", ein "Lücke".
grf:=plot::Function2d(f(x),x=-4..3,
LineColor=RGB::Red, LineStyle=Dashed, LineWidth=1):
grfs:=plot::Function2d(fs(x),x=-5..5,
LineColor=RGB::Blue):
grluecke:=plot::Point2d([luecke,fs(luecke)],PointSize=3, PointStyle=Circles):
plot(grf,grfs, grluecke);
Für alle weitereren Untersuchungen kann man die stetige Fortsetzung fs
anstelle von f nehmen.
Man sieht sofort, wenn man sich große x eingesetzt denk, dass y=1 eine waagerechte
Asymptote ist.
Bestimmung mit MuPAD:
limit(fs(x),x=infinity)
Alterativ
teile:=divide(pZ(x),factor(pN(x)))
teile[1]+factor(teile[2]/factor(pN(x)))
Alternativ mit "Hinsehen"
(x+3)/(x+1),(x+1+2)/(x+1),1+2/(x+1)
Es handelt sich also um eine gewöhnliche Hyperbel, mit Steckfaktor 2,
die um 1 nach oben und 1 nach links geschoben ist. f hat dazu bei
x=1 eine Lücke, die durch den Wert 2 geschlossen werden kann.
Der Pol mit Zeichenwechsel bei x=-1 ist davon nicht betroffen.
Man kann dieses Schließen der Lücke auch "augenfällig" machen:
fst:=x->piecewise([x<>1,f(x)],[x=luecke,fs(x)]);
fst(x)
plotfunc2d(1,fst(x))
