Kosinus-Rosette mit Konchoide
und die Doppel-Ei-Linie
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 3.1.1, Mrz. 06 Update 10.03.06
Web: www.mathematik-verstehen.de www.uni-lueneburg.de/ing-math
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Rosette, zu der es unten eine Konchoide gibt

• hl:=1: //Leinenlänge  
  r:=t->cos(2*t);
  rosette:=plot::Polar([r(t),t],t=0..ende,ende=0..2*PI,
           LineWidth=1,LineColor=[1,0,0], Mesh=400); 
  pkt:=plotPoint2d([r(t),t],t=0..ende,ende=0..2*PI,PointSize=1.1):
  leine:=plot::Line2d([(r(t)+hl)*cos(t),(r(t)+hl)*sin(t)],[r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)],t=0..2*PI,
          LineWidth=0.5):
  
  rosettekart:=plot::Curve2d([t,r(t)],t=0..ende,ende=0..2*PI,
           LineWidth=1, Mesh=400, LineColor=RGB::Green);
  radius2:=plot::Line2d([0,0],[r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)],t=0..2*PI,
          LineWidth=0.5):
  radiusbetrag2:=plot::Line2d([0,0],[abs(r(t))*cos(t),abs(r(t))*sin(t)],
                                      t=0..2*PI,LineColor=[0,1,0]):
  radiusordi2:=plot::Line2d([t,0],[t,r(t)],t=0..2*PI):
  plot(rosette,radiusbetrag2,radius2,rosettekart,radiusordi2,LineWidth=0.5,
       AnimationStyle=BackAndForth);
  

• plot(rosette);

Konchoide der Rosette
Spezielle Leinelänge hl, def. oben

•   r:=t->cos(2*t)+hl;
  rosetteconch:=plot::Polar([r(t),t],t=0..ende,ende=0..2*PI,
           LineWidth=1,LineColor=[1,0,1], Mesh=400); 
  rosetteconchkart:=plot::Curve2d([t,r(t)],t=0..ende,ende=0..2*PI,
           LineWidth=1, Mesh=400, LineColor=RGB::Green);
  radiusconch:=plot::Line2d([0,0],[r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)],t=0..2*PI,
          LineWidth=0.5):
  radiusbetragconch:=plot::Line2d([0,0],[abs(r(t))*cos(t),abs(r(t))*sin(t)],
                                      t=0..2*PI,LineColor=[0,1,0]):
  radiusordiconch:=plot::Line2d([t,0],[t,r(t)],t=0..2*PI):
  plot(rosette,rosetteconch,leine,
       AnimationStyle=BackAndForth);

Die Konchoide der Rosette ist die (eine) Doppel-Ei-Linie
Übliche Formel der Doppel-Ei-Linie, Größe angepasst

• r:=t->2*cos(t)^2;
  doppei:=plot::Polar([r(t),t],t=0..ende,ende=0..2*PI,
          LineWidth=1, LineColor=RGB::Red, Mesh=400);
  doppeid:=plot::Polar([r(t),t],t=0..ende,ende=0..2*PI,
          LineWidth=1, LineColor=RGB::Red, Mesh=400,LineStyle=Dashed); 
  doppeikart:=plot::Curve2d([t,r(t)],t=0..ende,ende=0..2*PI,
          LineWidth=1, Mesh=400, LineColor=RGB::Green);
  radiusdoppei:=plot::Line2d([0,0],[r(t)*cos(t),r(t)*sin(t)],t=0..2*PI,
                          LineWidth=0.5):
  radiusbetragdoppei:=plot::Line2d([0,0],[abs(r(t))*cos(t),abs(r(t))*sin(t)],
                          t=0..2*PI,LineWidth=0.5,LineColor=[0,1,0]):
  radiusordidoppei:=plot::Line2d([t,0],[t,r(t)],t=0..2*PI):
  plot(doppei,radiusbetragdoppei,radiusdoppei,doppeikart,radiusordidoppei,
       AnimationStyle=BackAndForth);
  

• plot(rosetteconch,doppeid)

Die beiden Doppel-Ei-linien scheinen übereinzustimmen.
Rechnerieche Prüfung:

• dei1:=2*cos(t)^2

• dei2:=expand(cos(2*t)+1)

• simplify(dei1-dei2)

Also ist für Leinenlänge =Blattlänge die Konchoide
der Cos-Rosette die übliche Doppel-Ei-Linie