sp:=plot::Polar([ln(t),t],t=0.001..50, Mesh=500):plot(sp)
Logarithmische Spirale
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Juni 09 Update 19.06.09
www.mathematik-verstehen.de https://mathe.web.leuphana.de
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sp:=plot::Polar([ln(t),t],t=0.001..50, Mesh=500):plot(sp)
Schnitte mit der x-Achse: x=0, x=
ln(k*PI)
Der Ursprung wird erreicht für t=1
float(tan(1)); float(arctan(%)/PI*180),"Grad"
Dies ist der Steigungswinkel der Schlaufe im Ursprung.
Zugehörige kartesische Darstellung
plotfunc2d(ln(t), ln(2*k*PI)$ k=1..10,ln(2*9*PI),t=0..20*PI, LegendVisible=FALSE)
Hier sieht man, dass sie nach außen zu immer enger wird.
float(ln(k*PI/4+2*PI)-ln(k*PI/4)) $ k=1..6
Darstellung der Abstände
plotfunc2d(ln(t+2*PI)-ln(t),t=0..300, Axes=Origin, ViewingBoxYRange=0..3)
Die Breite der Spiralenringe geht gegen Null. Die Breite der gesamten logarithmischen Spirale ist aber nicht beschränkt.
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Betrachtung der Fläche
iterm:=x->1/2*int(ln(t)^2, t=1..x): iterm(x)
1/2*int(ln(t)^2, t=1..PI/2);float(%)
Dies ist die winzige Fläche im 1. Quadranten
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Berechnungen für die Schlaufe:
Schnitt mit sich
solve(-ln(t)=ln(t+PI),t);
lo:=solve(0=ln((t+PI)*t),t);float(%)
Der zweite Wert erzeugt einen negativen Radius und ist der Parameterwert
der Spitze.
float(arctan(lo[2])/PI*180);float(%+180);
float(1/2*int(ln(t)^2,t=lo[2]..lo[2]+PI))
Dies ist der Flächeninhalt der kleinen Schlaufe
plotfunc2d(1/2*ln(lo[2])^2,1/2*ln(t)^2,t=lo[2]..lo[2]+PI,
LegendVisible=FALSE)
Hier sieht man nochmals, dass der Winkel richtig berechnet ist,
bei dem die Schlaufe ihre Spritze hat.
Steigungen an dieser Spitze:
r:=t->ln(t)
steig:=t->(r'(t)*sin(t)+r(t)*cos(t))/(r'(t)*cos(t)-r(t)*sin(t))
plotfunc2d(steig(t),t=0.01..6)
Die einzige Wendestelle ist als Extremstelle gut zu sehen.
Nenner und Zähler extra:
denom(steig(t)), numer(steig(t))
Polarwinkel, bei denen waagerechte Tangenten vorliegen.
numeric::solve(numer(steig(t))=0,t=1);
numeric::solve(numer(steig(t))=0,t=2);
numeric::solve(numer(steig(t))=0,t=5);
Polarwinkel, bei denen senkrechte Tangenten vorliegen.
numeric::solve(denom(steig(t))=0,t=1);
numeric::solve(denom(steig(t))=0,t=3);
numeric::solve(denom(steig(t))=0,t=6);
Spitzenwinkel der Schlaufe:
st1:=float(steig(lo[2]));arctan(st1);w1:= float(%/PI*180);
st2:=float(steig(lo[2]+PI));arctan(st2);w2:= float(%/PI*180);
w1-w2
Der Winkel in der Spitze der Schlaufe ist 83,52°.
sps:=plot::Polar([ln(t),t],t=lo[2]..lo[2]+PI, Mesh=500):plot(sps)
Kartesische Kordinaten der Spitze der Schlaufe:
xs:=float(r(lo[2])*cos(lo[2]));
ys:=float(r(lo[2])*sin(lo[2]));
