logarithmische Spirale, durch Kreisbögen angenähert

siehe dazu eine Geogebra-Datei: logarithmischeSpirale-mitKreisen.ggb     (Autor: Prof. Dr. Dieter Riebesehl, Leuphana Universität Lüneburg)

der goldene Schnitt

ϕ=((1+(Sqrt[5]))/2);

Punkt F und Punkt G (Zentrum der Spirale), Parameter der Spirale

solG=Solve[{(a/b)==ϕ-1,(b/(1-a))==ϕ-1}][[1]]//Simplify

F={b-ϕ+1,1-a}/.solG//Simplify

F//N

x[α_]:=s (ϕ^(α/(π/2)))Cos[α]

y[α_]:=s (ϕ^(α/(π/2)))Sin[α]

parms=FindRoot[{x[α]==F[[1]],y[α]==F[[2]]},{{α,π/2},{s,1}}]

α/(1°)/.parms

Rumspielen mit algebraischen Zahlen: wo genau ist die Spiralmitte G

woa=ToNumberField[a/.solG,ϕ]

wob=ToNumberField[b/.solG,ϕ]

woa[[2]].{1,ϕ//HoldForm}

wob[[2]].{1,ϕ//HoldForm}

Ein weiterer Punkt auf der Spirale ist T, der Schnitt des Kreises im Quadrat ABEF 
mit der Diagonalen g im Rechteck ABCD

B={-ϕ+b,-a}/.solG//Simplify

lf=F.F//Simplify

lb=B.B//Simplify

Ep={b-ϕ+1,-a}/.solG//Simplify

g[x_]:=-(ϕ-1)x

solT=Solve[Norm[{x,g[x]}-Ep]==1,x][[1]]//Simplify

T={x,g[x]}/.solT//Simplify

|T((|)^2)=|F| |B|

lt=T.T//Simplify

(lt^2)-lb lf//Simplify

Die Gerade g halbiert den Winkel FGB

((T.F)/((Sqrt[T.T])(Sqrt[F.F])))//Simplify

Die logarithmische Spirale

Vorbereitung

X[α_]:=x[α]/.parms[[2]]//Evaluate

Y[α_]:=y[α]/.parms[[2]]//Evaluate

Y[α]

geradeg=Plot[g[x],{x,b-ϕ,b}/.solG//Evaluate];

curve=ParametricPlot[{X[α],Y[α]},{α,-10π,1.1π},PlotRange->All];

quads=Graphics[{EdgeForm[Thin],Opacity[0],Rectangle[{b-ϕ,-a},{b-ϕ+1,-a+1}],Rectangle[{b-ϕ+1,-a+1+1-ϕ},{b,-a+1}],Rectangle[{b-2+ϕ,-a},{b,-a+1+1-ϕ}],Rectangle[{b-ϕ+1,-a},{b-2+ϕ,2ϕ-a-3}]}]/.solG;

Bild

Show[quads,curve,geradeg]

Die Spirale passt nicht ganz in die Quadrate

top=FindRoot[Y'[α]==0,{α,π/2}]

t1=Y[α]/.top

t1/t2

t2=X[α]/.top

Show[quads,curve,PlotRange->{{t2-0.1,F[[1]]+0.03},{F[[2]]-0.03,t1+0.01}},AspectRatio->Automatic]