polynom-riesen

Weihnachtsbaum-Polynome
Ein Geschenk meines guten Freundes Prof. Dr. Dieter Riebesehl, Universität Lüneburg
Prof. Dr. Dörte Haftendorn Silvester 2004
Was sind "schöne Polynome"?
das sind solche die reduzibel sind

p1:=x->x^7+2*x^3+1;
factor(p1(x))

p2:=x->x^7+2*x^4+1;
factor(p2(x))

p3:=x->x^10+x^2+1;
factor(p3(x))

p4:=x->x^10+x^2+2;
factor(p4(x))

p5:=x->x^5+20*x+32;
factor(p5(x))

p5b:=x->x^5+31*x+32;
factor(p5b(x))

p6:=x->x^4+sqrt(3)*x+2;
factor(p6(x))

plotfunc2d(p6(x))

plotfunc2d(p6(x),sqrt(3)*x+2,x=-2..2,y=-1..6)

p7:=x->x^10+11*x^2+12;
factor(p7(x))

plotfunc2d(p7(x),11*x^2+12,x=-3..3,y=-1..100)

p8:=x->4*x^6+2*x+1;
factor(p8(x))

plotfunc2d(p8(x))

plotfunc2d(p8(x),x=-1..1,y=-0.1..10)

plotfunc2d(p8(x),x=-0.8..-0.5,y=-0.1..0.1)

p9:=x->x^10+25*x^2+26;
factor(p9(x));
plotfunc2d(p9(x),25*x^2+26,x=-3..3,y=-30..100)

p9b:=x->x^10+25*x^2-26;
factor(p9b(x));
plotfunc2d(p9b(x),25*x^2-26,x=-3..3,y=-30..100)

p9c:=x->x^10+25*x-26;
factor(p9c(x));
plotfunc2d(p9c(x),25*x-26,x=-2..2,y=-55..20)

p10:=x->x^10+sqrt(2)*x+1;
factor(p10(x));
plotfunc2d(p10(x),sqrt(2)*x+1,x=-2..2,y=-1..5)

solve(x^2+sqrt(2)*x+1,x)// der kleine Faktor hat keine Nst

nst:=numeric::solve(p10(x)=0)


{[x = - 0.1109842386 + 1.049035386 I],

   [x = - 0.1109842386 - 1.049035386 I],

   [x = - 0.7071067812 + 0.7071067812 I],

   [x = - 0.7071067812 - 0.7071067812 I],

   [x = 0.5817264373 + 0.9143742811 I],

   [x = 0.5817264374 - 0.9143742811 I], [x = -0.7437103212],

   [x = -0.8553738539], [x = 1.03590667 + 0.3600763067 I],

   [x = 1.03590667 - 0.3600763067 I]}

op(nst,9);op(nst,10);

p11:=x->x^10+24*x^2+25;
factor(p11(x));
plotfunc2d(p11(x),24*x^2+25,x=-2..2,y=-1..100)

taylor(p11(x),x=0,9)

p11b:=x->x^10+24*x^2-25;
factor(p11b(x));
plotfunc2d(p11b(x),24*x^2-25,x=-2..2,y=-25..100)

p12:=x->x^4+3*x-2;
factor(p12(x));
plotfunc2d(p12(x),3*x-2,x=-2..2,y=-5..1)

Ganz erstaunliche Sachen kommen da bei der Zerlegung:

factor(x^(2*k)+3*x+2)$k=1..40:

factor(x^(2*k+1)+3*x+2)$k=1..40:

Alle mit geradem Grad bieten (x+1) als Faktor (klar), aber
dann fast alle unzerlegbar mit alternierenden Vorzeichen und ausschließlich
Faktoren 1 alle Potenzen. Hinten steht +2 (klar):
Erstaunlicherweise habe ich bis x^80 nur ein Polynom gefunden,
das weiter zerlegbar ist, und zwar das vom 8. Grad.
Alle mit ungeradem Grad sind unzerlegbar, bis x^81
Bei Variation der 3 und der 2 fand ich auch nur unzerlegbare
(allerdings habe ich nicht systematisch gesucht.)

factor(x^(8)+3*x+2)

expand((x+x^3+1)*(-x-x^3+x^4+2))

plotfunc2d(x^(8)+3*x+2,3*x+2,x=-3..3,y=-4..5)

numeric::solve(x+x^3+1)

solve(-x-x^3+x^4+2=0)

nst:=numeric::solve(x^8+3*x+2)

op(nst,7);op(nst,8)

p13:=x->x^26+x+1;
factor(p13(x));
plotfunc2d(p13(x),x+1,x=-2..2,y=-1..10)

p14:=x->x^2004+x^3+1;

plotfunc2d(p14(x),x^3+1,x=-1.1..1.1,y=-1..3)

factor(p14(x));

Error: Computation aborted;
during evaluation of 'faclib::univ_mod_gcd'

p14b:=x->x^204+x+1;
factor(p14b(x));
plotfunc2d(p14b(x),x+1,x=-2..2,y=-1..10)

p15:=x->x^7+7*x+10;
factor(p15(x));
plotfunc2d(p15(x),7*x+10,x=-2..2,y=-1..20)

p16:=x->x^7+x^2+1;
factor(p16(x));
plotfunc2d(p16(x),x^2+1,x=-2..2,y=-1..20)

p17:=x->x^25+x^2+1;
factor(p17(x));
plotfunc2d(p17(x),x^2+1,x=-2..2,y=-1..20)

p18:=x->x^5+x+6;
factor(p18(x));
plotfunc2d(p18(x),x+6,x=-2..2,y=-1..20)

p19:=x->x^2005+x^2+1;

plotfunc2d(p19(x),x^2+1,x=-2..2,y=-1..20)

factor(p19(x));

p19b:=x->x^205+x^2+1;
factor(p19b(x));

   

      2              2    4    5    7    8    10    11    13
(x + x  + 1) (- x + x  - x  + x  - x  + x  - x   + x   - x   +

    14    16    17    19    20    22    23    25    26    28
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   +

    29    31    32    34    35    37    38    40    41    43
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   +

    44    46    47    49    50    52    53    55    56    58
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   +

    59    61    62    64    65    67    68    70    71    73
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   +

    74    76    77    79    80    82    83    85    86    88
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x   +

    89    91    92    94    95    97    98    100    101
   x   - x   + x   - x   + x   - x   + x   - x    + x    -

    103    104    106    107    109    110    112    113
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    115    116    118    119    121    122    124    125
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    127    128    130    131    133    134    136    137
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    139    140    142    143    145    146    148    149
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    151    152    154    155    157    158    160    161
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    163    164    166    167    169    170    172    173
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    175    176    178    179    181    182    184    185
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    187    188    190    191    193    194    196    197
   x    + x    - x    + x    - x    + x    - x    + x    -

    199    200    202    203
   x    + x    - x    + x    + 1)

plotfunc2d(p19b(x),x^2+1,x=-2..2,y=-1..20)

p20:=x->x^5+x+1;
factor(p20(x));
plotfunc2d(p20(x),x+1,x=-2..2,y=-1..5)