Musik und Mathematik
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 3.1.1, Mai. 06 Update 22.05.06
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Unten folgt die Akustik des Monochords
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Posaunentöne

• Bf:=55*2^(1/12); float(%)

• fgr:=Bf:fton:=fgr:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  doBBB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fgr*t),t=0..1/2/fton,
  LineColor=[1,0,0]):
  plot(doB,doBB,doBBB, LineWidth=1);

Links muss man sich man sich das Mundstück, die Stelle der Tonerzeugung vorstellen.
Recht ist der Schalltrichter, die Schallabstrahlung.
An beiden Stellen müssen Schwingunsbäuche sein.
Im Instrument baut sich eine stehende Welle auf.
Dargestellt ist der tiefste Ton, der möglich ist.
Bei der Posaune ist das das Kontra B1

• fton:=fgr*2:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..1/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..1/fton):
  plot(doB,doBB,doBBB, LineWidth=1);

Dies nächsthöhere Ton, der sich bilden kann, 1 innerer Bauch.
Es ist die Oktave, das tiefe Posaunen-B.

• fton:=fgr*3:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..3/2/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..3/2/fton):
  plot(doB,doBB, doBBB,LineWidth=1);

Dies nächsthöhere Ton, der sich bilden kann, 2 innere Bäuche
Es ist die Quinte auf dem tiefen Posaunen-B, das tiefe f.

• fton:=fgr*4:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..4/2/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..4/2/fton):
  plot(doB,doBB,doBBB, LineWidth=1);

Dies nächsthöhere Ton, der sich bilden kann, 3 innere Bäuche
Es ist die Quarte auf dem vorigen Naturton, das hohe b.

• fton:=fgr*5:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..5/2/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..5/2/fton):
  plot(doB,doBB,doBBB, LineWidth=1);

Dies nächsthöhere Ton, der sich bilden kann, 4 innere Bäuche
Es ist die Große Terz auf dem vorigen Naturton, das hohe d..

• fton:=fgr*6:
  doB:=plot::Function2d(cos(2*PI*fton*t),t=0..6/2/fton):
  doBB:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fton*t),t=0..6/2/fton):
  doF:=plot::Function2d(-cos(2*PI*fgr*3*t),t=0..6/2/fton,
  LineColor=[0,1,0]):
  plot(doB,doBB,doBBB,doF, LineWidth=1);

Dies nächsthöhere Ton, der sich bilden kann, 5 innere Bäuche
Es ist die Kleine Terz auf dem vorigen Naturton, das hohe f1.
Rot ist das Kontra-B, Grün, der tiefe Naturton f.

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Monochord Betrachtet wird ein Monochord, also eine an zwei Stellen eingespannte Saite.
Mit einem Steg (hier grüner Pfeil) wird die Saite unterteilt. Dann kann man auf beiden
Seiten des Steges zupfen oder streichen.
Teilt man mit dem Steg in ganzzahligen Verhältnissen, erklingen (meist)
zum Grundton (nicht unterteilte Saite) hamonische Töne.

• cf:=110*2^(3/12);float(%);

• fgr:=cf:fton:=fgr*2:
  doC:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  doCC:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  plot(doC,doCC, LineWidth=1);
  

Grundton C = Tiefe Viola-Saite

• fton:=fgr*2;
  doc:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton*2):
  docc:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton*2):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(doc,docc, steg,LineWidth=1)

Teilung bei 1/2, Schwingunsverhältnis 2:1 für beide Seiten.
Töne c1 = Viola c auf der G-Saite, hohes c Posaune

• fton:=fgr*3/2;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 2/3
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 3/2 Quinte g =g-Saite Viola
Rechts Oktave zum Ton Links g1 =3. Finger d-Saite Viola

• fton:=fgr*4.0/3;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 3/4
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 4/3 Quarte f =tiefes f Viola
Rechts Doppel-Oktave zum Grundton c1 =2. Finger a-Saite Viola

• fton:=fgr*5/4;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 4/5
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 5/4 Große Terz e =auf c-Saite Viola
RechtsDoppel-Oktave zum Ton Links e2 =e-Saite Geige

• fton:=fgr*6/5;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 5/6
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 6/5 Kleine Terz Es =auf c-Saite Viola
Rechts Quinte auf Oktave zum Grundton g1 =3. Finger d-Saite Viola

• fton:=fgr*9.0/8;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*t),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 8/9
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 9/8 große Sekunde d =1. Finger c-Saite Viola
Rechts Dreifach-Oktave zum Ton Links d2
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

• fton:=fgr*5/3;ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*(t-1/4/ftonre)),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*(t-1/4/ftonre)),t=1/2/fton..1/2/fgr):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0]):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

Steg bei 3/5
Freqenzverhältnis zum Grundton Links 5/3 Sexte a =a-Saite Cello
Rechts Große Terz auf Oktave zum GrundtonTon f =2. Finger d-Saite Viola
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Nun sind C,D, F, G,A, als 5 Töne beisammen, die keinen Halbtonschritt auffweisen,
Spielt an auf dem Klavier ausschließlich schwarze Tasten, so ist das
Cis, Dis, Fis, Gis, Ais also alle diese Töne nur einen Halbton höher.
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• delete(fton);

• ftonre:=(1/fgr-1/fton)^(-1);
  dog:=plot::Function2d(sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton,fton=220..440):
  dogg:=plot::Function2d(-sin(2*PI*fton*t),t=0..1/2/fton,fton=220..440):
  dogre:=plot::Function2d(sin(2*PI*ftonre*(t-1/2/fton)),t=1/2/fton..1/2/fgr,fton=220..440):
  doggre:=plot::Function2d(-sin(2*PI*ftonre*(t-1/2/fton)),t=1/2/fton..1/2/fgr,fton=220..440):
  steg:=plot::Arrow2d([1/2/fton,-1],[1/2/fton,0],LineColor=[0,1,0],fton=220..440):
  plot(dog,dogg,dogre ,doggre,steg,LineWidth=1);

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