# Mersenne Primzahlen+vollkommene Z.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Jan 2012,  www.mathematik-verstehen.de

f(x):=2^x-1    /* Mersenne-Zahlen*/;

Die Vorgänger von Zweierpotenzen heißen "Mersenne-Zahlen".

Darunter sind einige Primzahlen, sie heißen "Mersenne-Primzahlen"

"Vollkommene Zahlen" sind die, die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind.

### Die zur Mersenne-Primzahlen gebildeten Dreiesckszahlen v(mp)
sind "vollkommene Zahlen". 
Andere gerade vollkommene Zahlen gibt es nicht.
Ungerade vollkommene Zahlen kennt man 
unter 10^500 nicht.

Info: Wikipedia: vollkommene Zahlen     Mersenne Primzahlen

v(x):=2^(x-1)*(2^x-1) /*Dreieckszahlen aus Mersenne-Zahlen*/;

Vollkommen sind diese also nur, wenn die darüber stehende Mersenne-Zahl 
eine Primzahl ist.

Im Folgenden stehen übereinander:
Primzahl, Mersenne-Zahl, 
Kleiner Fermat für diese: Primzahlkandidat falls 1,
Faktorisierung der Mersenne-Zahl, falls zerlegt: keine Mersenne-Primzahl 
Kandidat für Vollkommene Zahl: ja falls f(p) Mersenne-Primzahl.

p:2;f(p); power_mod(2,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:3;f(p); power_mod(2,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:5;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:7;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:11;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:13;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:17;f(p); mod(2^(2^p),p);factor(f(p));v(p);

p:19;f(p); mod(2^(2^p),p);factor(f(p));

p:23;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));

p:29;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:31;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:37;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:61;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:67;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:87;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:89;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:101;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

p:107;f(p); power_mod(3,f(p)-1,f(p));factor(f(p));v(p);

es folgen 127, 521,607,1279,2203.... als weitere Mersenne Primzahlen

Die folgende Zahl hat man bis 1932 für eine Merenne-Primzahl gehalten.

f(257);

p:257;power_mod(2,f(p)-1,f(p));power_mod(3,f(p)-1,f(p));

Aber der kleine Fermat mit Basis 3 hätte es ans Licht gebracht.

/* factor(mp257) */;

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### Kleiner Satz von Fermat 
p  prim folgt mod(a^(p-1),p)=1

mod(2^12,13); p:11;f(p);power_mod(2,f(p)-1,f(p));power_mod(3,f(p)-1,f(p));

Bein Kleinen Fermat ist man gut beraten, beim Ergebnis 1 auch andere
Basen auszuprobieren.

p:13; f(p);power_mod(2,f(p)-1,f(p));power_mod(3,f(p)-1,f(p));