f:=z->q*E^(2*PI*phi*I)*z
Sonnenblume
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 4, Jan 08 Update 7.1.08
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Erzeugung von Punkten durch komplexe Iteration
f:=z->q*E^(2*PI*phi*I)*z
phi:=(sqrt(5)-1)/2;float(%)
zu lesen als Anteil des Vollwinkels
gw:=phi*360;
g:=360-gw;
Dieser Winkel heißt goldener Winkel.
q:=0.999:
q bewirkt die passende Verkürzung.
n:=2:
li:=(f@@i)(1) $ i=1..n;
pkte:=[Re(li[j]),Im(li[j])] $j=1..n;
Die wirkliche Verwendung der Iteration ist ungünstig, weil die Berechnung von
Real- und Imaginärteil zu aufwendig ist. Man dreht mit der Uhr um 137,5... Grad.
Gerechnet math. positiv um 222,49... Grad.
phi:=(sqrt(5)-1)/2;
phi:=float(%)
(1-phi)*55
Dazu noch mehr weiter unten.
phi:=float(sqrt(5)-1)/2;
n:=1000:
pkte:=[q^j*cos(2*PI*phi*j),q^j*sin(2*PI*phi*j)] $j=0..n:
plot(plot::Listplot([pkte],Axes=None,PointStyle=Squares,
Scaling=Constrained, LinesVisible=FALSE,PointSize=2))
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Hier kann man mit Varianten experimentieren. 0.6 oder 0.62 oder 0.625
phivari:=0.615;
n:=1000:
pkte:=[q^j*cos(2*PI*phivari*j),q^j*sin(2*PI*phivari*j)] $j=0..n:
plot(plot::Listplot([pkte],Axes=None,PointStyle=Squares,
Scaling=Constrained, LinesVisible=FALSE,PointSize=2))
matrix([[i,(0.phivari*i*2)] $ i=1..13])
Hier für phivari=0.615, gibt es 13 Spiralen, nach je 16 Runden kommt
ein neues Karo in einen Spiralarm.
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Warum entstehen gerade 55 rechtsdrehende Spiralen?
phi:=float(sqrt(5)-1)/2
gw:=phi*360;
gw2:=360-gw
55*gw2/360
d.h. die 55 Spiralen kommen zustande, weil 55 goldene
Winkel sehr wenig mehr als 21 Runden ergeben.
Darum liegen die Karos nach je 21 Runden sehr dicht an den vorigen.
matrix([[i,(phi*i)] $ i=1..55])
Übrigens sind es gerade 34 linksdrehende Spiralen.