w:=x->sqrt(2+x)
PI mit der 6-Eck-Familie und der 4-Eck-Familie
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 4, Jan 08 Update Jan 08
https://mathe.web.leuphana.de www.mathematik-verstehen.de
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Ein wesentlicher Term bei der Herleitung des 2n-Ecks aus dem n-Eck ist
w:=x->sqrt(2+x)
Dieses ist jetzt zu schachteln
(w@@k)(x) $ k=1..4
Diese Rekursion strebt für jedes x gegen 2
solve(w(k)=k,k)
w tritt in jedem n-Eck-Verdoppelungsverfahren auf.
Hier werden zuerst die 6-Ecke,12-Ecke, 24-Ecke... betrachtet,
dann unten die 4-Ecke,8-Ecke, 16-Ecke. .
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6-Eck-Familie
Beim 6-Eck muss innen eine 3 stehen
(w@@k)(1) $ k=0..5
Das ist der richtige Wurzelturm, (w@@k) hat k Wurzeln.
matrix([float((w@@k)(1))$ k=0..10])
s(k) ist die Seitenlänge des einbeschriebenen 6*2^k-Ecks.
s:=k->sqrt(2-(w@@k)(1)):
[6*2^k,s(k)] $ k=0..3
Nun muss man unbedingt die Rechengenauigkeit erhöhen,
sonst bricht die Rechnung nach etwa 15 Schritten auseinander.
DIGITS:=30:
float(PI);
matrix([[6*2^k,float(3*2^k*s(k)) ] $ k=0..20])
abst:=matrix([[6*2^k,float(PI-3*2^k*s(k))] $ k=0..20])
matrix([abst[k+1,2]/abst[k,2]^(1) $ k=1..20])
Man sieht, dass das Verfahren recht langsam konvergiert. Mit Probieren an dem Exponenten
kann man sehen, dass es wirklich nur linear konvergiert.
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Berechnung der umschreibenden n-Ecke aus der 6-Eck-Familie
g(k) ist die Seitenlänge des umbeschriebenen 6*2^k-Ecks.
g:=k->2*s(k)/(2-s(k+1)^2)
g(k) $ k=0..3
Annäherung an PI von oben
float(PI);
matrix([[6*2^k,float(3*2^k*g(k))] $ k=0..20])
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4-Eck-Familie
Beim 4-Eck muss innen eine 2 stehen, aber es muss eine Wurzel mehr sein
(w@@k)(sqrt(2)) $ k=0..4
Das ist der richtige Wurzelturm
matrix([float((w@@k)(sqrt(2)))$ k=0..10])
s(k) ist die Seitenlänge des einbeschriebenen 4*2^k-Ecks.
s:=k->_if( k=0,sqrt(2),sqrt(2-(w@@(k-1))(sqrt(2)))):
s(k) $ k=0..4
Nun muss man unbedingt die Rechengenauigkeit erhöhen,
sonst bricht die Rechnung nach etwa 15 Schritten auseinander.
DIGITS:=30:
float(PI);
matrix([[4*2^k,float(2*2^k*s(k))] $ k=0..20])
Man sieht, dass das Verfahren recht langsam konvergiert.
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Berechnung der umschreibenden n-Ecke aus der 4-Eck-Familie
g(k) ist die Seitenlänge des umbeschriebenen 4*2^k-Ecks.
g:=k->2*s(k)/(2-s(k+1)^2)
g(k) $ k=0..3
Annäherung an PI von oben, halber Umfang
float(PI);
matrix([[4*2^k,float(2*2^k*g(k))] $ k=0..20])
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