q:=numlib::prevprime(floor(sqrt(27*10^50)));
RSA-Verfahren, Public-Key-Verschlüsselung
Kryptographie mit MuPAD,
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Mathematik mit MuPAD 4.02,
(ex. in 2.5 vom Sept 99 Nov.02 und in 3.11 Sept. 05) Feb.07
http://haftendorn.uni-lueneburg.de www.mathematik-verstehen.de
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---------------------------------------eigene Zahlentheorie Ergänzungen-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Im Dateimenu bei "Eigenschaften" sehen die beien Prozeduren zur Umwandlung von Text in Zahl und Zahl in Text, daher können sie hier ausgeführt werden.
---------------------------------------eigene Zahlentheorie Ergänzungen------------------------------------------------------------------------------------------------------
Anton bereitet seine Schlüssel vor.
p:=numlib::prevprime(floor(sqrt(1822*10^50)))://Exponent z.B.auch 200
q:=numlib::prevprime(floor(sqrt(27*10^50)));
//p:=11;q:=13;
n:=p*q;
ph:=(p-1)*(q-1);
repeat
r:= random(2..ph): e:=r():
until gcd(ph,e)=1 end_repeat:e;
d:=op(igcdex(ph,e),3): // letztes Element euklid. Algorithmus
if (d<0) then d:=d+ph: end_if:d; //Korrektur bei negativem d
Das ist Antons geheimer Schlüssel. Der Öffentlichkeit gibt er e und n bekannt.
e;n;
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Berta will Anton einen Text senden, den nur Anton lesen kann.
---------------------------------------eigene Zahlentheorie Ergänzungen-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Im Dateimenu bei "Eigenschaften" sehen die beien Prozeduren zur Umwandlung von Text in Zahl und Zahl in Text, daher können sie hier ausgeführt werden.
---------------------------------------eigene Zahlentheorie Ergänzungen------------------------------------------------------------------------------------------------------
m:=txToZoo("Montag im Medley"); //ASCII-30, zweistellig
[77, 111, 110, 116, 97, 103, 32, 105, 109, 32, 77, 101, 100, 108, 101, 121]
gcd(m,n); // soll 1 sein
c:=powermod(m,e,n);
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Anton empfängt diesen verschlüsselten Text und wandelt ihn in Klartext um.
m:=powermod(c,d,n);
zooToTx(m) //Zweierpakete +30->ASCII
[47, 81, 80, 86, 67, 73, 2, 75, 79, 2, 47, 71, 70, 78, 71, 91]
[77, 111, 110, 116, 97, 103, 32, 105, 109, 32, 77, 101, 100, 108, 101, 121]
Anton signiert einen der Öffentlichkeit präsentierten Text
M:=txToZoo("Dies sagt euch Anton.");
[68, 105, 101, 115, 32, 115, 97, 103, 116, 32, 101, 117, 99, 104, 32, 65, 110,
116, 111, 110, 46]
sig:=powermod(M,d,n);
Anton stellt den Text und sig öffentlich aus. Eigentlich wendet er auf M vorher noch eine Hashfunktion an,
die öffentlich bekannt ist und M auf 128 Bit reduziert. Hier ist h(M)=M.
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Berta will prüfen, ob das wirklich Antons unveränderter Text ist.
MB:=M: //Berta berechnet ebenfalls aus dem erhaltenen MB das h(M),
//hier ist h(MB)=MB. Unsd sie bildet ein Mtest aus der Signatur.
Mtest:=powermod(sig,e,n);
if (modp(MB,n)=modp(Mtest,n)) then print("Anton hat wirklich unterschrieben")
else print("Vorsicht, das ist nicht Antons Original!") end_if;
"Anton hat wirklich unterschrieben"
Wenn aber nun MisterX verändert hat
MB:=M+1
if (modp(MB,n)=modp(Mtest,n)) then print("Anton hat wirklich unterschrieben")
else print("Vorsicht, das ist nicht Antons Original!") end_if;
"Vorsicht, das ist nicht Antons Original!"