Traktix-Varianten mit DGLn

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Mai 2004

Vorstellung: Q bewegt sich an der Tischkante und zieht einen Punkt P aus dem Ursprung weg so, dass PQ Normale der Bahnkurve ist und \(PQ\&_\) die feste Länge  k hat.

DGL

\(\(\((k - x)\)\^2\) \((1 + 1\/y'\^2)\) = 
      k\^\(\(2\)\(\ \ \ \ \ \)\)\)
Lösung mit Trennung der Variablen

yy = -∫((z/(Sqrt[(k^2) - (((z))^2)]))) \[DifferentialD]z

c = -(yy /. z -> k)

trakvari1 = (yy /. z -> (k - x)) + c

t1 = 
        Plot[trakvari1 /. k -> 4, {x, 0, 8}, PlotRange -> {0, 4},  
          PlotStyle -> Farbig];

Parameterdarstellung, t Steigungswinkel der Uhrkette

k - x == Cos[t];

    y' == ((-1)/Tan)[t]

Mit \(\(d\ y\)\/\(d\ x\) = \ \(\(d\ y\)\/\(d\ t\)\) . \ \(\(d\ t\)\/\(d\ x\)\)\) folgt   ((d y)/(d t)) == k Cos[t]

Trennung der Variablen:

k ∫Cos[t] \[DifferentialD]t

y[t_] := k Sin[t]

x[t_] := k (1 - Cos[t])

Parameterdarstellung der Traktrix-Variante 1

t2 = 
        ParametricPlot[{x[t], y[t]} /. k -> 4, {t, 0, 3},  
          PlotRange -> {0, 4},  AspectRatio -> Automatic];

Show[t1, t2, AspectRatio -> Automatic]