Traktix mit Differentialgleichungen

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Mai 2004

Linienerzeugung in der Datei trakrix.nb

DGL

\(\(\((k - x)\)\^2\) \((1 + y'\^2)\) = 
      k\^2\ \ \ \ \ \)
Lösung mit Trennung der Variablen

yyy = -∫((1/z)) (Sqrt[(k^2) - (((z))^2)]) \[DifferentialD]z

yyy // Simplify

c = -(yyy /. z -> k)

trak = (yyy /. z -> (k - x)) + c

t1 = 
        Plot[trak /. k -> 4, {x, 0, 4}, PlotRange -> {0, 10},  
          PlotStyle -> Farbig];

Parameterdarstellung, t Steigungswinkel der Uhrkette

k - x == Cos[t];
y' == Tan[t]

Mit \(\(d\ y\)\/\(d\ x\) = \ \(\(d\ y\)\/\(d\ t\)\) . \ \(\(d\ t\)\/\(d\ x\)\)\) folgt

((d y)/(d t)) == k Sin[t] Tan[t]

Trennung der Variablen:

k ∫Sin[t] Tan[t] \[DifferentialD]t

y[t_] := 
      k Log[((Cos[(t/2)] + Sin[(t/2)])/(Cos[(t/2)] - Sin[(t/2)]))] - 
        k Sin[t]

x[t_] := k (1 - Cos[t])

Parameterdarstellung der Traktrix

t2 = 
        ParametricPlot[{x[t], y[t]} /. k -> 4, {t, 0, 3},  
          PlotRange -> {0, 10}];

Show[t1, t2]