Markow-Ketten mit drei Zuständen
Stochastik mit MuPAD,
Prof. Dr. Dörte Haftendorn 23.11.04 Version vom 23.11.04
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Drei Zustände: Sonne, Nebel, Regen
Die Prozentsätze geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit morgen der
betreffende Zustand eintritt.
Also:
Wenn heute Sonne ist, dann ist mit 50% Wahrscheinlichkeit
auch morgen Sonne, mit 20 % W. ist Nebel, mit 30 % W. ist Regen
Wenn heute Nebel ist, dann ist mit 20% W. morgen Sonne, mit 70% W. wieder Nebel, mit 10% W. Regen,
Wenn heute Regen ist, dann ist mit 15% W. morgen Sonne, mit 75% W. Nebel, mit 10% W. wieder Regen,
nur mit 10% W. kommen sie morgen.

Dieser Zusammenhang wird durch die Übergangsmatrix beschrieben:
   

A heißt "stochastische Matrix".
Die Zeilensummen stochastischer Matrizen müssen 1 sein.
Entsprechend gibt es auch "Zustandsvektoren" als stochastische Vektoren.
Sie sind Zeilenvektoren mit Zeilensumme 1.
(0.6 0.3 0.10) bedeutet dann, dass heute mit 60% Wahrscheinlichkeit Sonne ist,
mit 30% W. Nebel und mit 10% W. Regen.
Es ist die Verteilung der Zustände heute.
Wie sieht dann die Verteilung der Zustände morgen aus?
   

Es wird günstigerweise ein Vektor v als Funktion von x und y definiert.
   

Zur Beantwortung der Frage muss man v mit A multiplizieren:
   

Morgen ist dann die Verteilung der Zustände 37,5% für Sonne, 22,5% für Nebel und 40% für Regen.
   

Dies ist die Verteilung übermorgen.
   

Dieses in den folgenden Tagen. Nun betrachten wir Wochen:
   

Da scheint sich ja eine stabile Verteilung zu bilden. Wie versuchen:
   

Das ist offenbar nicht ganz richtig geraten.
Das heißt: auf Dauer wird es vielleicht eine Verteilung geben, wie bekommt man die?
Der gesuchte Vektor (xe, ye,ze) ist ein Eigenvektor der Matrix A. Wenn man ihn mit A multipliziert,
kommt muss er selbst wieder herauskommen.
Allgemein heißt ein Vektor v Eigenvektor zum Eigenwert k, wenn gilt v*A=k*v.
Der obige Vektor muss also Eigenvektor zum Eigenwert k=1 sein.
Eigenwerte und Eigenvektoren kann man "von Hand" oder mit CAS bestimmen.
Eigenwerte "von Hand" siehe ganz unten.
Erst mit CAS, hier mit MuPAD:
   

1 ist also tatsächlich ein Eigenwert.
Der zugehörige Eigenvektor erfüllt:
   

Das war mit Abschreiben. Automatisch:
   

Da ist als die stabile Zustandsverteilung herausgekommen.
   
   
   

   

   

   

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Allgemeine Betrachtungen:
   

Alle stochastischen 3x3-Matrizen haben den Eigenwert 1???????.

Das Eigenvektorkonzept ist für Spaltenvektoren von rechts konzipiert.
Darum kippen wir die Matrix und das Ergebnis. Eigenvektoren sind beliebig skalierbar.
Allgemein ist da offenbar zu schwierig
Die anderen Eigenvektoren sind in diesem Thema nicht deutbar.
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Allgemein
   

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Potenzen von A
   

   

   

   

   

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Tatsächlich konvergiert die Folge A^n gegen die Matrix,
die aus der stabilen Verteilung als drei Zeilenvektoren gebildet wird. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Eigenwerte "von Hand":
v*A=k*v soll gelten, k heißt dann Eigenwert.
Also muss v*A-k*v=0 sein. Damit man v ausklammern kann, muss man die
Einheitsmatrix EE zuhilfe nehmen.
v*(A-k*E)=0 . Dies ist eine Vektorgleichung, bei der der Nullvektor herauskommen soll,
man sagt auch: es ist ein homogenes Gleichungssystem.
Nichttriviale Lösungen kommen aber nur dann zustande, wenn die Determinante
der Matrix A-k*EE =0 ist.
Bei 3x3-Matrizen ist die Determinate nach der Sarrusschen Regel zu berechnen.
   

   

   

   

Die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte.
Tatsächlich ist ein Eigenwert 1
   

   

   

   

   


               array(1..3, 1..3,
                 (1, 1) = 3900000000028720848193/100000000000000000000,
                 (1, 2) = 8099999999949338376159/100000000000000000000,
                 (1, 3) = 68750000000685649239/3125000000000000000,
                 (2, 1) = 3899999999990677018161/100000000000000000000,
                 (2, 2) = 8100000000016445106211/100000000000000000000,
                 (2, 3) = 549999999998219468907/25000000000000000000,
                 (3, 1) = 974999999995852823289/25000000000000000000,
                 (3, 2) = 4050000000014630675607/50000000000000000000,
                 (3, 3) = 219999999998732735563/10000000000000000000
               )

Hier könnte man mit scharfem Hinsehen die Zähler herauskriegen.
   
   
   

   

   

Also ist gzv wirklich Grenzverteilung.