Mathematik-Verstehen: Logik und Boolsche Algebra<

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Logik und Boolsche Algebra

Informatik und Mathematik mit MuPAD 2, Prof. Dr. Dörte Haftendorn 04.04.02 Version vom 04.04.02
Läft unverändert auch in MuPAD 4.

Eine sprachliche oder mathematische Aussage ist ein Satz (oder ein mathematisches Gebilde), zu dem der Begriff wahr oder der Begriff falsch gehört. Die Regeln mit denen man aus Aussagen neue Aussagen bilden kann, beschreibt man in der Boolschen Algebra. (Kurzform: "Rechnen mit Aussagen").

Bezeichnung nach George Boole 1854. Computersprachen und Computer-Algebra-Systeme, CAS, beherrschen Boolsche Algebra.

Auswertung elementarer Aussagen (in MuPAD)

bool(3=4)

bool(3<4)

bool(a<b)

Error: Can't evaluate to boolean [_less]

Also konnte die letzte Ungleichung nicht ausgewertet werden, a und b waren nicht bekannt.

Ein Satz oder mathematisches Gebilde mit Variablen heißt Aussageform, wenn durch Belegung der Variablen eine Aussage entsteht. Aussagenformen heißen auch Prädikate, der Umgang mit ihnen heißt Prädikatenlogik. Diese wird in dieser Datei nicht vertieft.

Bezeichnung von Aussagen kann mit beliebigen Namen geschehen, meist nimmt man Großbuchstaben:

Unsinn:=3=4

bool(Unsinn)

soistes:=3<4: bool(soistes)

Im Folgenden sollen mit Aw, Bw, Cw.... wahre Aussagen und mit Af, Bf, Cf, ... falsche Aussagen bezeichnet werden.

Aw:= soistes: Af:= Unsinn: Bw:= 10<=100: Bf:= 10>100: Cw:=1<=1:Cf:=1<1:

Durch den := weist man zu, der die anderen Doppelpunkte unterdrücken die Ausgabe.

Verknüpfungen von Aussagen, logische Operatoren

bool(3<4 and 10<=100)

Das logische Und heißt in MuPAD und anderen Computersprachen and , AND .....

Als Zeichen ist es kleines Dach. Man schafft sich eine Übersicht mit einer "Wahrheitstafel".

Hier ist eine Liste mit allen möglichen Kombinationen von wahren und falschen Aussagen.

[bool(Aw and Bw), bool(Aw and Bf),bool(Af and Bw),bool(Af and Bf)]

Die Und-Aussage ist also genau dann wahr, wenn beide beteiligten Aussagen wahr sind. Eine Und-Aussage heißt auch Konjunktion.

Das logische Oder heißt in MuPAD und anderen Computersprachen or , OR .....

Als Zeiche ist es kleines v. Man schafft sich eine Übersicht mit einer "Wahrheitstafel".

Hier ist eine Liste mit allen möglichen Kombinationen von wahren und falschen Aussagen.

[bool(Aw or Bw), bool(Aw or Bf),bool(Af or Bw),bool(Af or Bf)]

Die Oder-Aussage ist also genau dann falsch, wenn beide beteiligten Aussagen falsch sind. Eine Oder-Aussage heißt auch Disjunktion.

"Genau dann" kann man auch als "dann und nur dann" aussprechen.

Die Negation, das logische Nicht, heißt in MuPAD und anderen Computersprachen not , NOT .....

Als Zeichen wird oft ein Haken verwendet oder über dem Buchstaben der Aussage wird ein Strich gemacht.

not(3<4)

Zusammensetzungen mit der Negation

Negiert man eine Und-Aussage erhält man folgendes:

not(A and B)

MuPAD "löst auf" : nicht( A und B) = nicht A oder nicht B , das 1. Gesetz von De Morgan

Man beweist ein solches Gesetz, indem man alle möglichen Belebungen von A und B mit wahren und falschen Aussagen prüft.

Übrigens: Der nicht-Operator bindet stärker als alle anderen logischenOperatoren.

[bool(not(Aw and Bw)), bool(not(Aw and Bf)),bool(not(Af and Bw)),bool(not(Af and Bf))]

[bool(not Aw or not Bw), bool(not Aw or not Bf),bool(not Af or not Bw),bool(not Af or not Bf)]

Da sich dieselbe Wahrheitstafel ergibt, gilt das 1. Gesetz. von De Morgan. In Worten:

Die Negation einer Und-Aussage ist die Oder-Aussage mit den Negationen der einzelnen Aussagen.

Negiert man eine Oder-Aussage erhält man folgendes:

not(A or B)

Die Negation einer Oder-Aussage ist die Und-Aussage mit den Negationen der einzelnen Aussagen.

MuPAD "löst auf" : nicht( A oder B) = nicht A und nicht B , das 2. Gesetz von De Morgan

[bool(not(Aw or Bw)), bool(not(Aw or Bf)),bool(not(Af or Bw)),bool(not(Af or Bf))]

[bool(not Aw and not Bw), bool(not Aw and not Bf),bool(not Af and not Bw),bool(not Af and not Bf)]

Da sich dieselbe Wahrheitstafel ergibt, gilt das 2. Gesetz. von De Morgan.

Weitere logische Operatoren der Informatik

Da in der Informatik Schaltelemente für die logischen Operatoren konstruiert werden, sind auch die Zusammensetzungen NichtUnd = nand=Nand = NAND=... und NichtOder=nor=Nor=NOR=... gebräuchlich.

In machen Sprachen sind sie implementiert, in MuPAD kann man sie sich selbst definieren:

nand:=(A,B)->not(A and B)

nor:=(A,B)->not(A or B)

Probe an einem Beispiel, dass das richtig funktioniert:

[bool(nand(Aw,Bw)), bool(nand(Aw,Bf)),bool(nand(Af,Bw)),bool(nand(Af,Bf))]

[bool(nor(Aw,Bw)), bool(nor(Aw,Bf)),bool(nor(Af,Bw)),bool(nor(Af,Bf))]

Aufbau der Logik mit NAND-Bausteinen

Wenn man die logischen Operatoren Nicht, Und und Oder mit Nand bauen kann, dann lässt sich jede logische

Schaltung allein aus Nand-Bausteinen aufbauen:

[nand(A,A),not A] //Aufbau von Nicht

[nand(nand(A,B),nand(A,B)),not(nand(A,B)), A and B]//Aufbau von Und

[nand(nand(A,A),nand(B,B)),nand(not A, not B), A or B]//Aufbau von Oder

Rechenregeln für logische Terme, Distributiv-Gesetze

(A and ( B or C))= ((A and B) or (A and C))

Ein Beispiel für die Richtigkeit:

[bool(Aw and ( Bw or Cf)),bool((Aw and Bw) or (Aw and Cf))]

(A or ( B and C))= ((A or B) and (A or C))

Ein Beispiel für die Richtigkeit:

[bool(Aw or ( Bw and Cf)),bool((Aw or Bw) and (Aw or Cf))]

Für einen Beweis müsste man alle 8 Belegungen durchchecken.

Verwendung der logischen Terme in der Informatik

if 3=4 then doof else drei_nicht_vier end_if,

if 3<4 then kleiner_ok else ganzFalsch end_if

Zusammengesetzte Abbruchbedingungen in Schleifen.

i := 1: r := 10.0:

while i < 5 or r >1.5 do

print(i ,r):

r := sqrt(r):

i := i + 1:

end_while:

1, 10.0

2, 3.16227766

3, 1.77827941

4, 1.333521432

i := 1:r:=10.0:

repeat

print(i,r);

i := i + 1; r:=sqrt(r):

until i >= 5 or r <1.5 end:

1, 10.0

2, 3.16227766

3, 1.77827941

i := 1:r:=10.0:

repeat

print(i,r);

i := i + 1; r:=sqrt(r):

until i >= 5 and r <=1.5 end: //Negation der While-Bedingung

1, 10.0

2, 3.16227766

3, 1.77827941

4, 1.333521432

r:=10.0: //Mit Zählschleife

for i from 1 to 5 do

print(i,r);

r:=sqrt(r):

end_for:

1, 10.0

2, 3.16227766

3, 1.77827941

4, 1.333521432

5, 1.154781985

Direkte Boolsche Werte

if TRUE then Aw else Af end_if

if FALSE then Aw else Af end_if

not TRUE and TRUE, not TRUE or TRUE

In einigen (älteren) Computersprachen ist TRUE=1 und FALSE=0.

Variablen für logische Ausdücke (=logische Terme=boolsche Ausdrücke) sind vom Datentyp boolean.

Manchmal wird für UND ein Malzeichen und für ODER ein Pluszeichen geschrieben. Das passt dazu, dass in allen Computersprachen UND Vorrang vor ODER hat.

http://p-roocks.de/scripts.php Interaktive Erstellung von Wahrheitstafeln zu logischen Ausdrücken von Patrick Roocks (Stud. Inf)

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April 2002, update 01. August 2023

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