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Traktix-Varianten mit DGLn

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, Mai 2004

•Vorstellung: Q bewegt sich an der Tischkante und zieht einen Punkt P aus dem Ursprung weg so, dass PQ Normale der Bahnkurve ist und Overscript[PQ, _] die feste Länge  k hat.

•DGL

•(k - x)^2 (1 + 1/y '^2) = k^2       Lösung mit Trennung der Variablen

yy = -∫ (z/(k^2 - (z)^2)^(1/2)) d z

(k^2 - z^2)^(1/2)

c = -(yy /. z -> k)

0

trakvari1 = (yy /. z -> (k - x)) + c

(k^2 - (k - x)^2)^(1/2)

t1 = Plot[trakvari1 /. k -> 4, {x, 0, 8}, PlotRange -> {0, 4}, PlotStyle -> Farbig] ;

[Graphics:traktrix-b/traktrix-dgl-variante1_10.gif]

•Parameterdarstellung, t Steigungswinkel der Uhrkette

• k - x == Cos[t] ; y ' == -1/Tan[t]
•Mit (d y)/(d x) = (d y)/(d t) . (d t)/(d x) folgt   (d y)/(d t) == k Cos[t]
•Trennung der Variablen:

k ∫ Cos[t] d t

k sin(t)

y[t_] := k Sin[t]

x[t_] := k (1 - Cos[t])
•Parameterdarstellung der Traktrix-Variante 1

t2 = ParametricPlot[{x[t], y[t]} /. k -> 4, {t, 0, 3}, PlotRange -> {0, 4}, AspectRatio -> Automatic] ;

[Graphics:traktrix-b/traktrix-dgl-variante1_19.gif]

Show[t1, t2, AspectRatio -> Automatic] (* es ist wirklich derselbe Graph, und zwar der Kreis *)

[Graphics:traktrix-b/traktrix-dgl-variante1_21.gif]

-Graphics -

Converted by Mathematica  (May 16, 2004)

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