Klingelbrett | |
Hinführung |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Didaktische Anmerkung: Vorher sollte möglichst klar sein, wie man die Ableitungskurve als Ortslinie erzeugt. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Theorie |
![]() Bildet man für eine Exponentialfunktion (a>0) an der Stelle x den Differenzenquotienten, so kann man aus dem Term a^x ausklammern. Der verbleibende Term ist als Differenzenquotient an der Stelle 0 auffassbar. Er hat also die Bedeutung: Sekantensteigung der Exponentialfunktion an der Stelle 0, d.h. im Punkt (0,1). Sein Grenzwert existiert offenbar, denn er ist die Tangentensteigung an der Stelle 0. Damit existiert auch der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x, also die Ableitung an der Stelle x. Sie ist also proportional zum Funktonswert a^x und der Proportionalitätsfaktor ist mt(0). Damit ist gesichert, das man nach der Basis suchen kann, die mt(0)=1 erfüllt. Diese Basis definiert die Eulerschezahl e. Es gilt dann ![]() Achtung: Man kann ein mathematisches Objekt wie e nur an einer Stelle definieren, alle anderen Eigenschaften müssen dann bewiesen werden. Manchmal wird e über andere Egenschaften definiert, dann ist diese Ableitungseigenschaft nachzuweisen. Die oben vorgeführte Vorgehensweise ist m.E. die einzige, die mit schulischen Mitteln einsichtig ist. |
Logarithmus | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Merke: ![]() Allgemein ![]() |
Logarithmengesetze |
![]() Diese Formeln gelten für alle Logarithusfunktionen. Beweise ![]() ![]() |
Umrechnungen Basiswechsel Ableitung |
![]() Im Vergleich zum Abschnitt "Theorie" zeigt sich, dass die Steigung der Exponentialfunktionen y=a^x im Punkt (0/1) den Wert ln a hat. |
Log-Umrechnung ln-Ableitung |
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Grenzwert |
![]() Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e. ![]() |
Reihe |
![]() Dieses ergibt sich aus der Taylorreihe für die e-Funktion |
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[Analysis][Interaktiv-Info, vor allem für Applets]
[Computer]
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