Johanneum Lüneburg	Dr. Dörte Haftendorn Chaos und Fraktale
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IFS-Fraktale

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Sierpinskidreieck		Kleine Email-Korrespondenz mit Schülern, die eine Facharbeit schreiben.

Iterated Function System = Systeme von Funktionen die "iteriert" werden, d.h. immer wieder ausgeführt werden.

Urbild sei das nach rechts fahrende Fahrrad. Ihm entspricht das rechts stehende schwarze Rechteck. Durch das links stehene rote Rechteck ist eine Spiegelung definiert. deren Wirkung ist das nach links fahrende Fahrrad. Das kleine, rote, gekippte Rechteck definiert eine Verkleinerung mit Drehung und Verschiebung.

Die beiden Seiten des Urbildrechtecks könnten auch in ungleichem Maß verkleinert werden und um verschiedene Winkel gedreht werden. Jedes Parallelogramm kann als Bild des Urbildrechtecks aufgefasst werden und definiert dadurch eine sogenannte affine Abbildung. Alle in der Schulgeometrie bekannten Abbildungen sind Sonderfälle affiner Abbildungen:
Kongruenzabbildungen

affine Abbildungen

• Ähnlichkeitsabbildungen
  • Kongruenzabbildungen = Deckabbildungen Das Bild eines Rechtecks ist ein Rechteck mit denselben Seitenlängen.
    • Spiegelung
    • Drehung
    • Verschiebung
    • Gleitspiegelung
  • zentrische Streckung, das Bild eines Rechtecks ist ein Rechteck mit demselben Seitenverhältnis.
• Scherung
• Achsenstreckung, das Bild eines Rechtecks ist ein Rechteck mit einem anderen Seitenverhältnis.
• allgemeine Affine Abbildung, das Bild eines Rechtecks ist ein beliebiges Parallelogramm
• 

  
  Dies ist mein Zapfen, ein Verwandter des Barnsleyfarnes.

  

  
  Man sieht das schwarze Startrechteck.
  Die blaue Abbildung sorgt für die Spiegelung und damit die Symmetrie des Zapfens.
  Die grüne Abbildung ist für den "Körper" zuständig. Sie hat die schwächste Kontraktion.
  Die rechte rote Abbildung erzeugt die Zweige und ist vor allem für die Struktur des Zapfens verantwortlich.
  Die kleine lilafarbene Abbildung und der schwarze Strich sorgen für den Stiel.
  
  Der Zapfen entsteht nun durch den "fraktalen Regen", Peitgen nennt es das "Chaosspiel":
  Der Ursprung ist Startpunkt.

  1. Eine der Abbildungen wird zufällig ausgewählt.
  2. Der Punkt wird mit der Abbildung abgebildet und in der Farbe der gewählten Abbildung gezeichnet.
  3. Es geht bei 1. wieder los.
  Weiter ausführliche Erläuterung für Schüler finden Sie auf einer Extra-Seite

  

  Nach etwa 100000 Wiederholungen ist das Bild in Bildschirmgröße fertig. Sieht man von der Pixelrealisation ab, ist das Bild das Limesbild, das Grenzbild, der Attraktor dieses Abbildungssystems, daher der Name "Iteriertes Funktionen-System" und IFS-Fraktal.
  Weitere Beispiele sind mit meinem Pascalprogramm ifs.pas bzw ifs.exe erstellt, das hier zum Herunterladen verfügbar ist.

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  Autor: © [Dr. Dörte Haftendorn] Datum März 97. Letzte Änderung am 19. März 1999 29. April 2007
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