Bogenlänge und Fläche der Rosette
Prof Dr. Dörte Haftendorn, 2.05.04 Mathematik mit MuPAD

• download MuPAD-Notebook zurück zu zurück zu [Kurven] [Polarkoordinaten] [Rosetten]

Implizite Gleichung der Rosette

• (x^2+y^2)^3=c^2*x^2*y^2

• c:=4:pli:=plot::implicit((x^2+y^2)^3-4^2*x^2*y^2,x=-2..2,y=-2..2):
  plot(pli);delete(c):

Man kann das von Hand nicht nach y auflösen, darum ist die Darstellung in Polarkoordinaten besser.

• solve((x^2+y^2)^3=c^2*x^2*y^2,y)

• solve((xx+yyy)^3=c^2*xx*yy,yy)

Wie man es auch vesucht, es kommt nichts heraus.
Arbeit in Polarkoordinaten

• r:=phi->(c/2*sin(2*phi))

• c:=4

• rg:=plot::polar([r(phi),phi],phi=0..2*PI):plot(rg)

• delete(c):

• diff(r(phi),phi)

Bild aus Bronstein, Taschenbuch der Mathematik

Term für die kleine Bogenlängenänderung

• sqrt(r(phi)^2+diff(r(phi),phi)^2)

Berechnung der Bogenlänge

• int(sqrt(r(phi)^2+c^2*cos(2*phi)^2), phi)

Das Integral ist zu schwierig zu berechnen, es gibt keine Stammfunktion.
Einstzen von c=4 bringt auch nichts.
Das bestimmte Integral funktioniert daher auch nicht exakt.

• int(sqrt(r(phi)^2+16*cos(2*phi)^2), phi=0..PI/2)

Numerische Integration hilft da weiter (mit c=4):

• numeric::int(sqrt(r(phi)^2+16*cos(2*phi)^2), phi=0..PI/2)

Das ist also die Bogenlänge eines Blattes.

Fläche der Rosette

Die folgende Formel macht man sich klar, indem man das kleine Tortenstück betrachtet,
das von der kleinen Winkeländerung d phi und dem Radius r gebildet wird,
Dann wird über alle Tortenstückchen summiert, das heißt es wird integriert.

• int(1/2*r(phi)^2, phi)

• 1/2*int(r(phi)^2, phi=0..PI/2)

• subs(%, c = 4)

Das ist die Fläche eines Blattes bei Radius 2.
Die Fläche der Rosette bei Radius a=c/2 ist also

• 4*frosette

Sie nimmt also genau die Hälfte des Umkreises ein.

• plot(rosimp,kreis,Scaling=Constrained);