Polarkoordinaten

Einführung mit Wurzelspirale (polar pur)download

Einführung mit 4-Blatt-Rosette (polar pur)

Einführung mit der Archimedischen Spirale (polar-kartesisch)download

Diese Datei kann man für die ganze Arbeit mit Polarkoordiaten nutzen.

Rosette mit 3 Blättern (polar-kartesisch)download

Erklärung
• Es ist für das Verstehen sehr hilfreich, wenn man die polare und die kartesische Sicht simultan betrachtet. Dazu lassen sich nun in GeoGebra zwei Grafikfenster nebeneinander stellen.
  Man erreicht diese bei "Erweitert" Grafik (links) und Grafik2 rechts.
• Im Bild links ist vorn die Spalte mit den Definitionen, rechts die mit den Werte. (Man kann das bei "Einstellungen" umschalten.)
• Die Funktion ist kartesisch mit dem Term r(x) definiert. Zum Umdefinieren lickt man in Grafik 2 und setzt einen anderen Funktionsterm für r(x) (ggf. mit Parameter a) ein.
  Sofort hat man alles passend, allenfalls passt man die Fenstergrößen und den theta-Bereich an.
• In der Spalte mit den Definitionen sieht man, dass alles sauber mathematisch aufeinander bezogen ist.
• Man in beiden Fenstern an theta ziehen. Die Werte sind gekoppelt. Dadurch bewegen sich P und K punktweise, langsam, zum Verstehen. Dann erst schaltet man links die Polarkurve als Ortskurve hinzu. Übrigens: mit Strg F entfernt man die Beweungsspuren von P.
• In der Spalte mit den Werten muss man etwas nachdenken, da GeoGebra für P Winkelgrad anzeigt, theta aber im Bogenmaß definiert ist. Der Name theta für den Polarwinkel wurde gewählt, weil er beim TI Nspire vorgeschrieben ist. Früher hatt man eher phi gewählt.
• Irritationen kann es dadurch geben, dass manche Lehrbuchautoren -so auch GeoGebra- keine negativen Polarradien dulden. In der obigen Darstellung zeigt der kartesische Punkt K als Ordinate r=-1 beim Polarwinkel 1.85 rad also 106° In der Polarrichtung von 106°liegt P' mit Abs(r). Genau gegenüber ist dann der richtige Punkt P, der eigentlich die Polarkoordinaten (-1;106°) hat und von GeoGebra als (1;286°) angegeben wird.
• Unten ist nochmals theta von rad in Grad umgerechnet. Das wird relevant, wenn der Schieberegler theta größere Zahelen als 2 Pi anzeiget, aber die GeoGebra-Darstelung bei P mur Winkel bis zu 360° anzeigt.
• Ähnlich ist das Verhalten bei negativen rad-Werten. K=(-0.1, -0.44) wird an der richtigen Stelle als P=(0.44; 174°) angezeigt, während P'=(0.44; 354°)den richtigen Winkel zeigt, allerdings nicht -6°.

Rosette mit mehreren Blätterndownload

Rosette mit mehreren Blättern aber anderem Durchlaufdownload

Kreis in Polarkoordinaten, kann als Grundlage dienen   download

Kreisdurch den Ursprumg in polar-kartesischer Sicht, mit Beweis   
Der Kreis wird zweimal durchlaufen, wenn phi von 0 bis 2PI läft. Dieses Verhalten ist durch die polar-kartesische Sicht gut zu verstehen.

• Alle GTR, graphikfähigen Taschenrechner
• Alle CAS-Taschenrechner (TI-voyage, s.o.), Casio Classpad..)
• Alle Funktionenzeichner wie Turboplot, WinFunktion, MatheAss


• GeoGebra ist besonders geeignet zum Erkunden im Zusammenhang mit den kartesischen Graphen
  Das geht bei den oben genannten nicht, da sie nur einen Type jeweils erlauben.
  Grundlage für Polarkoordinaten    Download
• Euklid-Dynageo ermöglicht auch fast alles. Leider lassen die Trigonometrischen Funktionen nur Grad-Argumente zu.
Dynageo pflege ich nicht mehr.
Erkundung mit Euklid-Dynageo    download

• Fasse Funktionensgleichungen, die du kennst, als Polargleichungen auf.
  Also y=x^2 und nur r=phi^2.....
• Untersuche die Pascalschenschnecken
• Haben die Kardioide und ihre polar-kartesische Dartellung einen gemeinsamen Punkt?
• Untersuche die Konchoide der Rosette
• Analysis-Aspekte:
  • Steigungen im Ursprung intuitiv bestimmen (Dateimitte)
  • Bei Rosetten wird Bogenlänge und Fläche erklärt und berechnet.
  • Analysis-Klausuraufgabe
  • Analysis-Erkundungsaufgabe
  
  Hierin auch Bogenlänge von Polarkurven und Flächen und Integrale bei Anwendungen der Integralrechnung.
  
  
• Vieles Weiteres ergibt sich bei Kurven
• Erkunde für die Pascalschen Schnecken die Inversionen am Einheitskreis
• Einführungsseite im Zusammenhang mit der Inversion am Kreis
  Weiteres zur Inversion

Spiralen haben nun auch eine eigene Leitseite