Konchoide des Nikomedes:
Hundekurve

Einführung ab Klasse 8	Interaktive Erzeugungen	Gleichung ab Klasse 8	Konstr.Beschreibung...
Zentrale Aussagen zu Kurven und Gleichungen	Herleitung, Beweis ab Klasse 9	Antikes Problem: Würdelverdoppelung	Weiteres Konchoidenzirkel

Einführung
geeignet ab Klasse 8

Die Hundekruve ist als Einführung in das Thema "algebraische Kurven" sehr geeignet und vielfach erprobt. Dieses ist in meinen Vorträgen ausführlich dargestellt und wird wird hier in Grundzügen ausgeführt:
Zuerst wird die Situation gespielt:
Herr läuft auf einer Straße (hier an der Wand entlang). An einer Leine läft sein Hund (Junge), der stets direkt einem Baum (Kartenständer) zustrebt, den er aber wegen der festen Leinenlänge höchstens knapp erreichen soll. Der Weg des Hundes, hier mit einem Seil ausgelegt, ist die Hundekurve.
Geometrische Umsetzung für eine Zeichnung
Man wählt zunächst die Leinenlänge kürzer oder gleich dem Baumabstand.

Punktweise Handzeichnungen
Umsetzung in ein DGS

Ein wesentliches Element einer guten Umsetzung ist, dass man die Leinenlänge varrierbar macht.
Bei Euklid-Dynageo geht das, wie links gezeigt, mit einem Schieberegler (Zahlobjekt).
In GeoGebra setzt man k als Parameter fest und variiert später mit den Pfeiltasten oder dem Schieberegler
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ohne Ortskurve GeoGebra
Dynageo

mit Ortskurve GeoGebra
Dynageo

Ziele

Wiederfinden der beobachteten Fääle
Erkennen des "Schlaufenfalles", Weg eines "echt mathematischen" Hundes
Erkennen der Existenz eines zweiten (oberen) Astes
Interpretation als "furchtsamer Fiffi"
Befriedigung über die "vollständige Übersicht"

Gleichung
ab Klasse 8

Da in Klasse 8 weder Strahlensätze noch der Satz das Pythagoras verfügbar sind, ist eine Herleitung der Gleichung nicht möglich.
Dennoch gehört ja das Bestimmen von Werten für einen Term und die die Verwendung eines x-y-Koordinatensystems zu den üblichen Lernzielen.
Auf der Seite Terme und Gleichungen werden entsprechende Vorbereitungen mit passenden Arbeitsblättern vorgeschlagen. Wenn auf diese Weise der Boden bereitet ist, kann man die Gleichung der Hundekurve betrachten. Man sie hier abschreiben, aus dem Mathematikduden, aus dem Internet Famous Curves Index, England holen.

a ist der Abstand Straße-Baum, k ist die Leinenkänge

Besonders spannend ist, y=a zu setzen und festzustellen, dass dazu kein x gehören kann.
Auch die Eingabe der Formel in Derive ist sehr lehrreich. In Derive 6 kann man mit Schiebereglern a und k hinterher noch eindrucksvoll variieren, bis Derive 5 muss man a und k vorher festlegen.

Zentrale Aussagen

Gleichungen mit x und y haben (fast immer) einen Graphen im x-y-System. Er wird von allen Punkten P=(x,y) gebildet, die beim Einsetzen die Gleichung zu einer wahren Aussage machen.
Punkte P=(x,y), die beim Einsetzen die Gleichung zu einer falschen Aussage machen, gehören mit Sicherheit nicht zu dem Graphen der Gleichung.

Ergibt sich nach einer Termumformung oder Gleichungsumformung ein anderer Graph, hat man mit Sicherheit falsch umgeformt.

Übersicht

mit Beweis

ab der 9. Klasse
bis zum 9. Semester

Hundekurve= Konchoide des Nikomedes Erklärung, Beweis