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Geometrie

Allgemeines	Renaissance der Geometrie    Präsentation, Sonntagsvorlesung 4.Juli 2004, Neue Impulse durch DGS, dynamische Werkzeuge Geometrie
Werkzeuge	Dynamische Geometrie Systeme, DGS, Interaktive Seiten
Verwandte Themen	Algebraische Kurven, ein besonderer Schwerpunkt dieser Website
	Analytische Geometrie, Geraden, Ebenen im Raum, Linare Algebra
	Gleichungen und Konstruierbarkeit, Zusammenhang Algebra und Geometrie
	Fraktale Geometrie, meine Keimzelle der Internetarbeit, viele Hilfen und Abreitblätter

Themen der Geometrie

Elementargeometrie							Höhere Geometrie
Aufbau der Geometrie Grundbegriffe Winkel Erste Sätze Vielecke Konstruktion der n-Ecke	Punkte und Geraden im Dreieck Denkaufgaben Eigenmann	Goldener Schnitt  allgemein und am Fünfeck Geometrie in der Welt	Kreis- winkelsätze Kreissätze Abbildungen Der geometrische Ort	Satzgruppe der Pythagoras das Messen in der Geometrie	Körper Kugelgeometrie		Axiome Nicht-Euklidische Geometrie Inversion Unlösbare Probleme der Antike Konstruierbarkeit und Quasi-Konstruktionen Fordkreise Punktsprung Zentralprojektion

E l e m e n t a r e G e o m e t r i e	Grundbegriffe Winkel erste Sätze Vielecke	Aufbau der Geometrie aus der Eindeutigkeit der Konstruktionenen Die folgenden 8 Seiten gemeinsam als Seite 1 Start SSS, Winkel, wh Seite 2 Kongruenzsätze SWS WSW SsW, Mittelsenkrechte Seite 3 Allerlei Senkrechte Lot, Senkrechte, Spiegelung Seite 4 Parallelen Parallelen-Axiom, Rechteck-Axiom Seite 5 Winkelsätze Scheitel~, Wechsel~ und Stufenwinkel Seite 6 Winkel und Figuren Grad, Winkelsumme, Basiswinkel, n-Eck Seite 7 Kongruenzabbildungen Diskussion verschiederner Wege Seite 8 Übersicht über Weiteres Nähres und Interaktives folgt hier. www.beweiskompendium.de von Björn Liebaug & Martin Hertel, zwei Studenten von der Technischen Universität Ilmenau entwickelten als Unterrichtshilfe ein Beweiskompendium der Geometrie. Auf dieser Homepage sind Beweise der ebenen Geometrie und Herleitungen für Oberflächen- und Volumenformeln von Körpern zusammengestellt. VORSICHT, manche Beweise sind falsch, unvollständig oder unnötig kompliziert. Man kann studieren, wie schwer Beweisen ist. Parallelen, ungewöhnliche Konstruktion, unvollständige Version    download Parallelen, ungewöhnliche Konstruktion, dieselbe Version, von selbst richtig-App.    download Parallelen, ungewöhnliche Konstruktion, reparierte Version    download Für den Beweis braucht man nur den Kongruenzsatz sss. Winkel an Parallelen, Erkundung    download Stufen- und Wechselwinkel allgemein, i.a. keine Parallenen   Winkelsumme im Dreieck   ,  Winkelsummensatz (als Aufgabe)  Der Satz mit den senkrechten Schenkeln Arbeitsblatt in Dialogform Winkelaufgaben Kl 7 Nebenwinkelsatz, Aufgaben Interaktives Blatt dazu    interaktive Lösung Denkaufgaben mit Winkeln Quelle: Paul Eigenmann: Geometrische Denkaufgaben, Klett 3-12-7223102 Eigenmann-Aufgabe, Denken mit Winkeln     darin auch Methodenvergleich: direkte Arbeitsweise versus Geolog dieselbe Aufgabe interaktiv interaktive Lösung Beschriftetete Lösung als Bild, als < Eigenamnn-Aufgabe nr.15 aus Klausur+Lo ähnliche Winkel-Denkaufgabe von Eigenmann      Eigenmann-Denkaufgaben Nr 9 bis 16    Lösungen 9-19 Nr. 15 in Klausur Eigenmann-Denkaufgaben Nr 17 bis 26    Lösungen 17-24 Winkel-Denkaufgabe mit Problem von Coxeter als Bild Winkel-Denkaufgabe mit Problem von Coxeter   Lösung und Verallgemeinerungen, *.zip Vierecke, Polygone Vierecke Definitionen, gestaltet als Dialog von Mathix und Mathilde Allerlei-Geo: kleine Erkundungen, Männchen, Billard, Vierecksdefinitionen Das Geheimnis der vier Winkelhalbierenden Vierecke Anregungen zum Beobachten und Erkunden GoldenesDreieck Pentagon und Pentagramm Konstruktion der n-Ecke
	Punkte und Geraden im Dreieck	Beweisanregungen, interaktiv gestaltet Mittelsenkrechten Beweis    Höhenschnittpunkt Beweis      Höhenschnittpunkt Beweis    Winkelhalbierendenschnittpunkt Beweis    Inkreis Konstruieren Interaktive Aufgabe mit Cinderella   download Mittelparallelen Beweis    Mittelsenkrechten Beweis    Schwerpunktsatz erste Beweisidee    Schwerpunktsatz-Beweis    Hauptargument des Beweises ist die (inuitive) Verwendung des Strahlensatzes Seitenhalbierendenschnittpunkt Beweis    Hauptargument des Beweises ist die Kongruenz von passenden kleinen Dreiecken. Besondere Schnittpunkte im Dreieck  Andere Ausführung (mit Cinderella) Einfache fertige Ansichten Höhen, Mittelsenkrechten, Umkreis, Winkelhalbierende, Inkreis, Seitenhalbierende, Mittendreieck Konventionelle Dreieckskonstruktionen Kl.7 mit Betonung von "Konstruktionstypen" Dreiecke mit gleichlangen Seitenhalbierenden Erkundungsaufgabe 1. Stufe    Erkundungsaufgabe 2. Stufe    Erkundungsaufgabe Lösung    Dreiecke mit gleichlangen Winkelhalbierenden Erkundungsaufgabe 1. Stufe    Erkundungsaufgabe Lösung    Zwei Geraden mit unzugänglichem Schnittpunkt S. Afg 3 a: Konstruiere die Winkelhalbierende der Geraden Konstruktionsaufgaben-Lösung Afg 3 a Gu Afg 3 b: Gegegeben dazu P. Konstruiere die Gerade durch P und S Konstruktionsaufgaben-Lösung Afg 3 b Gu Weitere Besonderheiten im Dreieck Anregungen: Eulergerade, Neunpunktekreis Eulersche Gerade    Eulersche Gerade mit Beweis    Eulersche Gerade (Cinderella) Ansicht mit allen wichtigen Linien (Cinderella) Feuerbachkeis, Darstellung der neun Punkte   download Feuerbachkeis, erster Beweisschritt    download Feuerbachkeis, zweiter Beweisschritt, mit Kreis     download Feuerbachscher Kreis= Neunpunktekreis (web+geo) Feuerbachkeis Napoleon-Dreieck 1 außen Napoleon-Dreieck 2 innen Fermat-Punkt, kleinste Wegsumme zu den Ecken Fermatpunkt, Beweis Beweis 2. Teil angelehnt an Hans Schupp: Figuren und Abbildungen Ein Beweiselement "Drehung verknüpft mit Verschiebung" Mittelhöhen-Aufgabe Höhenfußpunkt-Dreieck Aufgabe Zusammenstellung zum Höhenfußpunkt-Dreieck      Weiteres zum Höhenfußpunkt-Dreieck   Simpson-Gerade- Aufgabe   Simpsongerade mit Beweis Simpson-Wallace-Gerade (Web, Mit Beweis schrittweise)   Satz von Blackwell-Aufgabe Erkundung und Überlegung, Beweis Dreieck-und-Kreis-Aufgabe
	Goldener Schnitt	Leitseite mit Definitionen Konstruktionen und Beweisen    Goldenes Dreieck    Goldenes Rechteck     Pentagon und Pentagramm
	Geometrie in der Welt	Golderner Schnitt allgemein, eigene Leitseite Anleitung zu den Interaktiven Dateien Wasserturm zu Lüneburg      Peking Himmelstempel      Download das Bild allein Der Dom von Pisa   download   Download das Bild allein(Ha) Wie schief ist der Schiefe Turm von Pisa?   download   Download das Bild allein Wo hat Schinkel den "Goldenen Schnitt" beim Kichenbau verwendet? Foto Front (Ha)   download   Download das Bild allein Wo hat Schinkel den "Goldenen Schnitt" beim Turm verwendet? Foto Turm (Ha)   download   Download das Bild allein Wo hat Schinkel den "Goldenen Schnitt" beim Turm verwendet? Foto Turm (Ha)   download   Download das Bild allein Rathaus zu Leipzig (alter Stich)   download    Wasserturm zu Lüneburg (Euklid-Dynageo, nur mit IE)    Anleitung hierzu    Wie schief steht der schiefe Turm von Pisa? Foto (Ha)     Wie schief steht der schiefe Turm von Pisa? Mit Postkarte     Wo hat Schinkel den "Goldenen Schnitt" beim Kirchturm verwendet? Foto Turm (Ha)      Wo hat Schinkel den "Goldenen Schnitt" beim Kichenbau verwendet? Foto Front (Ha)    "Goldener Schnitt" am Mexikoplatz, Berlin? Foto (Ha)     "Goldener Winkel" am Kristall?   Foto Mathematikum, Gießen   Drachen-Schwänze  Foto Mathematikum, Gießen   Das Euro-Symbol hat eine genaue Definition die sich mit einem DGS nachkonstruieren lässt. Das haben 7.-Klässler 1999 am Johanneum in ihrem Euro-Projekt verwirklicht und eine Konstruktionsbeschreibung verfasst. Als Interaktive Version neu gestaltet 2004     Damals allerdings konnte Euklid-Dynageo noch keine Kreisflächen füllen. Daher hat der Lehrer Karl Spier aus Hamburg nun neue Dateien gemacht : [Konstruktionstext ganz ausführlich] [  interaktive Konstruktion zum Nachvollziehen] [download] interaktive Konstruktion fertig   [download] Ein Leben für das Eurosymbol; Arthur Eisenmenger Achtung: Bei Euklid-Dynageo sind die Dateien wegen der technisch notwendigen bmp-Bilder etwa 0,6 MB groß. Notwendig ist der Internet-Explorer. Die GeoGebra-Dateien laufen in jedem Browser, sie beruhen auf Java, das laden Sie nur einmal pro Internetsitzung. Bilder können dort als *.jpg oder *.gif eingebunden werden.
	Kreis-Winkel-Sätze Kreissätze	Kreis-Winkel-Sätze Umfangswinkelsatz erkunden     Einzeichnungen zur Lösung dazu     Umfangswinkelsatz erkunden    Umfangswinkelsatz Beweis      Umfangswinkelsatz Beweis Teil 2    Umfangswinkelsatz Beweise Südpolsatz: Mittelsenkrechte von c und Winkelhalbierende von gamma schneiden sich auf dem Umreis Umfangswinkelsatz (alt) als Aufgabe Justizpalast-Aufgabe     Thalessatz (offen)    Thalessatz-Beweis   Sehnen-Tangenten-Winkelsatz als Aufgabe Sehnen-Tangenten-Winkelsatz    Aufgaben Lambacher Schweizer Geometrie 1 1948 Seiten 80 und 81 Aufgaben 1, 2 und 3 und Außenwinkelsatz 4a 4c 5a 5b 6c Lösung 6d    6d Rückwärts einschneiden Seefahrt-Aufgabe + Lo.    Seefahrt   10a Seite 81 5a Tangentenviereck Kreissätze Neue Seite Kreis-Sätze Sehnensatz interaktiv    download Sehnensatz interaktiv für die algebraische Version   download Sehnensatz, algebraisch-analytischen Beweis Aus dem Umfangswinkelsatz folgt der Sekanten-Tangentensatz. Aus dem Sekanten-Tangentensatz folgt der Kathetensatz. Sekanten-Tangenten-Satz   Aus dem Umfangswinkelsatz folgt der Sehnensatz. Aus dem Sehnensatz folgt der Höhensatz. Aus dem Sehnensatz folgt der Pythagoras-Satz. Aus dem Kathetensatz folgt der Pythagoras-Satz. Aus dem Sekanten-Tangentensatz folgt der Sekantensatz. Der Sekantensatz als Flächensatz Umkehrung des Sekantensatzes. Sekanten-Satz-Beweis und als Flächensatz   Sekanten-Satz-Umkehrung   Chordale, sie ist die Gerade durch die Schnittpunkte zweier Kreise. Ihre Konstruktion ist nicht so einfach (oder mir ist nichts kurzes eingefallen Chordalen-Konstruktion      Münzen und ihre Schnittpunkte, Erkundungsaufgabe Lösung Aufgabe aus Bundeswettbewerb Mathematik 2001       Lösung der Aufgabe
	Abbildungen	Vogeldrachen Schöne kreative Aufgabe (Spiegelung, evt. Umkreis, Inkreis) Vogeldrachen (web+geo) Billard     Billard    Problem des kürzesten Weges Kongruenzabbildungen Wie bildet man eine Strecke auf eine gleich lange andere Strecke ab? (Prüfungaaufgabe 2002) Doppelspiegelungen Achsenspiegelung    Abbilden eine Bildes: Higlight von GeoGebra, wunderbare Möglichkeiten download einer "puren Datei mit Bild" Doppelspiegelung an zwei Achsen    download Doppelspiegelung an zwei sich schneidenden Achsen Achsen    download Doppelspiegelung an sich schneidenden Achsen Version 1     Doppelspiegelung an sich schneidenden Achsen Version 2    Beweis für Drehwinkel    Doppelspiegelung an parallelen Achsen Version 1     Doppelspiegelung an paralelen Achsen Version 2    Beweis für Verschiebungslänge    Dreifachspiegelung Version 1     Dreispiegelungssatz    Doppel-Drehung durch Drehung ersetzen, Konstruktion der Lösung     Doppel-Drehung durch Verschiebung ersetzen     Doppel-Drehung, Erklärung und Beweis Nochmal in einer Variante: Kann man immer zwei Drehungen durch eine einzige Drehung ersetzten? Dreungen angewandt auf 3 Punkte, Lösung interaktiv ansehen    Konstruktion, noch ohne Ergebnis Drehung mit Konstruktion (ohne Beweis)     Kongruenzabbildungen einfache Aufgaben Dreifach Spiegelung an den Mittelsenkrechten eine Dreiecks (Klausuraufgabe GHR)     4-Spiegelung an den Seiten einer Raute(Klausuraufgabe GHR)    Lösung Ähnlichkeitsabbildungen Satz vom Petersilieschneider, Projektionssatz     Zentrische Streckung pur     Streckung mit Bild     Zentrische Streckung    Strahlensatz     Pantograph (Storchschnabel)zum Vergrößern     Pantograph (Storchschnabel) zum Verkleinern     Pantograph (Storchschnabel) und die Strahlensätze mit Beweisen Nikolaus-Haus-Straße Scherung    Scherung allgemein    Weiteres zur Scherung , vor allem auch in Analysis ist bei den Affenkästen Affine Abbildungen allgemein sind bei der Linearen Algebra zu finden. Zentralprojektion MuPAD 2.5 Webversion   [download *.mnb] Mal, sehn, wann mich jamand stochert, das auf MuPAD 4 umzusetzen. Email genügt.
	Der Geometrische Ort	Das allermeiste hierzu ist im Bereich "Kurven-Analytische Geometrie-Algebraische Kurven" zu finden, Unten sind die Fälle versammelt, in denen die Ortskurven Geraden, Kreise oder Parabeln sind. Weiterhin die Fälle, in denen die Ortskurven keinen Namen haben. Gleichseitiges Dreieck im Quadrat Aufgabenstellung Bild             Überlegungen,Berechnungen und Beweise MuPAD-web     MuPAD-download Ortsaufgabe gls-Dreieck auf drei Strahlen Ortsaufgabe gls-Dreieck auf drei Strahlen(TI Cabri) Ortsaufgabe gls-Dreieck auf drei Kreisen (web+geo) Wanderungen besonderer Dreieckspunkte Höhenschnittpunkt bei Geradenwanderung Aufgabe  Interaktiv   Download Höhenschnittpunt bei Geradenwanderung Aufgabe  Interaktiv   Download Winkelhalbierenden-Schnittpunkt, wenn eine Ecke auf dem Umkreis wandert Benoulli-Lemniskate als Stangenkonstruktion Interaktiv    Download Hundert Beispiele im Bereich Algebraische Kurven Simpson-Wallace-Gerade (Mit Beweis schrittweise) k-Kurve ohne Namen
	Satzgruppe des Pythagoras und das Messen in der Geometrie	Dreiechsfläche mit außenstehender Höhe     Dreiechsfläche etwas elementarer  "Mitten-Version     Drei schöne Pythagoras-Erkundungen darunter sind die zugehörigen GeoGebra-Dateien. Dabei ist eine umfassende Aufgabe aus der Didaktik zu E.I.S. (enaktiv, ikonische, symbolisch) Freie Erkundung im Zusammenhang mit Pythagoras-Enddeckung Ein ikonischer Zerlegungsbeweis Figur für Garfields symbolischen Beweis Pythagoras-Erkundung    Pythagoras-Erkundung mit Lehrerhilfen Pythagoras-Erkundung Lösung    Pythagoras Drehungs-Beweis interaktiv     Pythagoras Drehungs-Beweis Pythagoras Zerlegungsbeweis in drei Schritten Hinführung     Frage: Passt das?     Beweis     Kathetensatz und Satz des Pythagoras, schöner interaktiver Beweis  mit Scherung Kathetensatz und Satz des Pythagoras Beweis Originalbeweis des Euklid Interaktiv mit GeoGebra interaktiv mit Euklid-Dynageo     Rechtwinkliges Dreieck, gegeben c und h Höhensatz Betrachtung(W.Dutkowski, Hauptschule). Höhensatz erkunden    download Höhensatz-Beweis interaktiv mit Scherung   Arithmetisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel Arithmetisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel mit Beweis Beweise der für die Satzgruppe des Pythagoras aus den Kreissätzen   Interaktives dort Aus dem Sekanten-Tangentensatz folgt der Kathetensatz Aus dem Sehnensatz folgt der Pythagoras-Satz Aus dem Kathetensatz folgt der Pythagorassatz Aus dem Sehnensatz folgt der Höhensatz. Lambacher Schweizer Geometrie 2 1948 Seiten 96-97 Aufgaben Schönes Schweizer-Kreuz-Quadratproblem Welchen Flächenanteil hat das kleine Quadrat im großen Quadrat? Spezialfall, Mittenteilung, Interaktiv mit GeoGebra     download Allgemeiner Fall, Interaktiv mit GeoGebra     download Allgemeiner Fall,Lösung, Interaktiv mit GeoGebra     download Problemvorstellung, allgemeine Lösung      Pi und der Kreis Eigene Leitseite zu Pi Präsentation zu Pi      Trigonometrie    Sinus als geometrisch definierte Funktion     download Kosinus als geometrisch definierte Funktion     download Kosinus-Satz-Beweis    Kosinus-Satz-Flächen-Veranschaulichung    Sinus-Satz Hinführung zum Beweis Einleitung    Grundidee    Sinussatz    Stumpfwinkliger Fall    Beweis der Additionstheoreme Additiontheorem Sinus(alpha+beta) Additiontheorem Kosinus(alpha+beta)
	Körper	3-Tafelprojektion mit Archimedes-Geo3d Zugehörige 3-Tafelprojektion (Zeichnung von Hand) Edle Datei für 3-Tafelprojektion und Schrägbild einer Pyramide Klausuraufgaben mit Dreitafelprojektion und diversen Berechnungen Farbige Seite mit den nachfolgenden 3-Tafelprojektionen eines Pyramidenstumpfes. 3-Tafelprojektion so ähnich, nicht farbig Teil 1       Teil 2   Teil 3    3-Tafelprojektion, Beispiel und Aufgaben Einzeln Aufgabe a   Lösung zu a Aufgabe b    Lösung zu b Kugelvolumen mit dem Cavalieriprinzip Volumen der Pyramide Stufe 1   Volumen der Pyramide Stufe 2 Platonische Körper   Graphentheorie und Polyeder Kegelschnitt-Rotationskörper  , Anwendung der Integralrechnung Kugelgeometrie, Kürzeste Flugroute    Herleitung der Volumenformel für den Kegelstumpf Analysis 3d
H ö h e r e	Höhere Geometrie	Axiome Nicht-Euklidische Geometrie allgemeine elliptische Geometrie hyperbolische Geometrie Hyperbolische Geometrie im Poincaré-Modell Die hyperbolische Ebene wird als Kreisscheibe c modelliert. Die hyperbolischen Geraden sind euklidische Kreisbögen, die c senkrecht schneiden. Hyperbolische Geraden Poincaré Kreisscheibe,Geraden Hyperbolische Quadrate Inversion am Kreis Unlösbare Probleme der Antike Konstruierbarkeit und Quasi-Konstruktionen Konstruktion der n-Ecke Fordkreise Fordkreise Sehr viel mehr zu Fordkreisen bei TU München Projektive Geometrie Projektionen Homogene Koordinaten Punktsprung ein Phänomen bei DGS, das auf der Güte der geometrischen Konzepte beruht. Besondere und nichteuklidische Geometrien Sphärische Geometrie

© Prof. Dr. Dörte Haftendorn www.mathematik-verstehen.de	[Kurven]  [Goldener Schnitt]  [Pi]  [Unlösbares]  [Quasi-Konstruktionen]  [Mathematik der Griechen] Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Okt 2002, update 26. Juni 2013	Site-Info Link zum Buch
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