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Die großen unlösbaren Probleme der Antike

Worum geht es?

Ein beliebiger Winkel soll mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile geteilt werden
Zu einem Würfel soll mit Zirkel und Lineal ein volumenmäßig doppelt so großer Würfel konstruiert werden.
Ein 7-Eck soll konstriert werden.
Ein Kreis soll in ein flächengleiches Quadrat verwandelt werden.

Winkeldritteln

Würfelverdoppeln

7-Eck-konstruieren

Kreisquadrieren

Warum sind diese drei Probleme unlösbar?

Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal entstehen neue Punkte stets aus den Schnitten von Kreisen und Geraden (untereinander oder gemischt). Da Schnittpunkte von Kreisen untereinander und von Kreisen und Geraden auf quadratische Gleichungen führen, sind die Lösungen Quadratwurzeln. Durch Schachtelung von Konstruktionen entstehen Schachtelungen von Quadratwurzeln.
Konstruierbarkeit, was erreicht man mit Schnitten von Kreisen und Geraden.
Vertiefte Einsicht in Körpererweiterungen, Grundelmente der Galoistheorie
Dritte Wurzeln können jedenfalls nicht entstehen, die braucht man aber für die Würfelverdoppelung. Auch die Winkeldrittelung und die 7-Eckskonstruktion führen auf Gleichungen 3. Grades. Zu dem Argument gehört auch noch, dass man sicher sein kann, dass die 3. Wurzeln nicht doch irgendwie aus 2. Wurzeln als Term entstehen können. Hier gibt die moderne Algebra (Gruppentheorie, Körpererweiterungen, Galoistheorie) seit dem Ende des 19. Jahrunderts absolute Sicherheit: Allein mit Zirkel und Lineal sind höchstens in günstigen Fällen Lösungen von Gleichungen vom Zweierpotenz-Grad konstruierbar.
Welche n-Ecke damit konstruierbar sind, hat Gauß herausgefunden. Extaseite: Konstruktion der n-Ecke
Den Griechen war diese Gleichungs-Gesamtsicht nicht möglich. Jedes Problem stand für sich. Insofern gehören auch die 7-Ecks-Konstruktion, 9-Ecks-Konstruktion und viele andere zu den ungelösten Problemen der Antike.
Eine Sonderrolle nimmt die Quadratur des Kreises ein. Dazu müsste Pi konstruiert werden. Im 19. Jh. zeigte Lindemann, dass Pi eine transzendente Zahl ist, das heißt gerade, dass sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung (=Nullstelle eines Polynoms) zu gewinnen ist. Damit ist die Quadratur des Kreises weder allein mit Zirkel und Lineal noch als Quasi-Konstruktion möglich.

Winkeldrittler
Würfelverdoppeler
Kreisquadrierer

Heerscharen von Winkeldrittlern, Würfelverdoppelern und Kreisquadrierern fanden und finden sich in den mathematischen Instituten der Welt ein, um ihre angeblichen "Lösungen" vorzuzeigen.
Sie haben nicht verstanden, dass es um exakte Konstruktionen geht, bei denen nichts irgendwie eingepasst oder "hingefummelt" werden darf. Konstruktionen mit algebraischen Kurven

, Einpass-Konstruktionen

und Näherungskonstruktionen

sind seit der Antike bekannt und heute kann man alle gesuchten Längen auch schlicht ausrechnen

.
Sie haben keine mathematische Ausbildung, die ihnen die Elemente der Algebra vermittelt hat.
Ein großer Mathematiker hat gesagt: "Eine der größten Segnungen des Fernsehens ist, dass die Winkeldrittler, Würfelverdoppeler und Kreisquadrierer jetzt fernsehen anstatt ihre Zeit mit unlösbaren Problemen zu vergeuden.

Alledings gibt es sogar heute Winkeldrittler, wie die kleine Email-Korrespondenz (Jan 2006) zeigt.
Dort auch auch Literaturtipps für Studierende.

Weiterführungen	Wenn man den Werkzeugvorrat über Zirkel und Lineal hinaus erweitert, sind aber durchaus Lösungen möglich. Folgende Typen gibt es:
mit Einschiebelineal	Dies wird von Schülern gern praktiziert, indem die passende Länge mit dem Geodreieck durch "Hinfummeln" an die richtige Stelle gebracht wird. In passendem Unterrichtskontext ist dagegen gar nichts zu sagen. Nur handelt es nicht um eine Konstrunktion im strengen Sinne. Winkeldrittelung mit Einschiebung: "Tomahawk" Winkelfünftelung mit Einschiebung
mit Parabellineal	= Quasi-Konstruktionen Dieser ist erst in schöner Weise möglich, seit DMS wie GeoGebra Schnittpunkte von Kreisen mit Parabeln mit derselben Exaktheit erzeugen wie mit Geraden oder anderen Kreisen. Hierzu gibt einen ganzen gut ausgebauten Bereich Quasi-Konstruktionen
mit Kurven	Lösungen mit Hilfe von algebraischen oder transzendenten Kurven In diese Kategorie gehören: Konstruktionen mit Parabellineal, hier genannt: Quasi-Konstruktionen Würfelverdoppelung mit der Konchoide [interaktiv] [ download] Winkeldreiteilung mit der Trisektrix Kreisquadrierung mit der Quadratrix
Näherungskonstruktionen	Sie liefern rein handwerklich einen einigermaßen passenden Wert. Glaser-Handbuch zur Erzeugung des 7-Ecks: (eine Seite mach ich mal besser) Man nimmt die Höhe des gleichseitigen Dreieck, das den Radius eines Kreises als Kantenlänge hat, als Näherung für die Seitenlänge des 7-Ecks in dem Kreis. Im Einheitskreis mit 1m Radius ist das 866 mm anstelle von 867,8 mmm. Bei einem großen Kichenfenster mit 1 m Radius ist der Fehler also 1,8 mm pro 7-Ecksseite. (Information aus Henn, Elementare Geometrie und Algebra)
ohne Lineal nur mit Kreisen	Auch umgekehrt kann man untersuchen, wie weit man in der Geometrie kommt, wenn man nur Kreise und deren Schnitte zulässt. Hiermit habe ich mich noch nicht eingehender befasst. Das Leben ist viiiiiel zu kurz!
Einfach Ausrechnen	Selbstverständlich kann man die gesuchte Größe ausrechnen: Den Winkel durch 3 teilen, die 3. Wurzel aus 2 berechnen, die 7-Ecks-Seite mit dem Sinus berechnen, die Wurzel aus PI berechnen. Solche rechnerischen Lösungen heißen aber nicht "Konstruktionen". Es geht eben nicht um das auf diese Weise leicht zu beschaffende Ergebnis, sondern um die geistige Herausforderung, es mit Methoden der Geometrie zu schaffen. Weitere Winkel-Drittel-Versuche

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Nov. 2004, update 14. August 2011

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