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Quasi-Konstruktion des 7-Ecks

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	Hilfsmittel: Zirkel Lineal Parabellineal	Interaktiv download Herleitung Beschreibung der Konstruktion	Konstruktion der n-Ecke Quasi-Konstruktion für Gleichungen 3. Grades Allgemeines zu den Quasi-Konstruktionen unlösbare Probleme der Antike

Unter einer Quasikonstruktion verstehen wir eine exakte Konstruktion mit dem erweiterten Werkzeug: Zirkel, Lineal und Parabellineal. Weiteres dazu auf der Extraseite Quasikonstronstruktionen.

Herleitung

Der Innenwinkel des 7-Ecks ist

. Also ist

und damit auch

.
Mit mehrfacher Anwendung der Additionstheoreme kann man

in Termen von

schreiben. Dann ergibt sich aus Gl(1) mit CAS und expand(...) oder von Hand -wie auf der Seite Winkeldritten gezeigt- nach Abspaltung des Linearfaktors (k-1) (Befehl factor(...)) also:

.
Für das Problem ist die rechte Klammer interessant, umgeschrieben bleibt:

.
Auf der Seite "Cardano-Gleichungen" wird beschrieben, dass man nun mit der Substitution

eine Gleichung für z' in Cardano-Standard-Form erhält. Will man aber hier das Auftauchen von Brüchen vermeiden setzt man besser

also

und das ist, wie die Zeichnung zeigt, geometrisch leicht an einem Kreis mit dem Radius r=6 deutbar. Verwendung von Gl(4) in Gl(3) in ergibt:

.
Dieses ist eine griffige Cardano-Standard-Form einer Gleichung 3. Grades, die nun mit einer Quasi-Konstruktion gelöst werden kann. Man sieht hieran auch, dass es eine Konstruktion des 7-Ecks allein mit Zirkel und Lineal nicht geben kann.

Erzeugung des passenden Kreises und Beschreibung

: Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises ergibt sich aus:

Siehe Seite zur Quasi-Konstruktion für Gleichungen 3. Grades.
Der Kreis mit dem Mittelpunkt A=(3.5,11) schneidet also die Normalparabel an den Stellen z, die Gl(5) erfüllen. Wegen Gl(4) kann man die um 1 verminderten Werte als Katheten k6 in einem Kreis um D=(1,0) mit dem Radius r=6 deuten.
In diesem Kreis ist dadurch das regelmäßige 7-Eck mit Zirkel, Lineal und Parabelllineal konstruiert.

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Mit dem 7-Eck sind natürlich auch alle

-Ecke quasi-konstruierbar.
Ausfühliche Seite zur

Konstruierbarkeit der n-Ecke und der nunmehr quasi-konstruierbaren n-Ecke

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Winter Feb. 06 update 26. November 2006

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