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Gleichung 3. Grades lösen mit Quasi-Konstruktion

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	Hilfsmittel: Zirkel Lineal Parabellineal	Interaktiv download Herleitung Beschreibung der Konstruktion	Cardano und Gleichungen 3. Grades Allgemeines zu den Quasi-Konstruktionen unlösbare Probleme der Antike

Herleitung

Allgemeine Gleichung 3. Grades

Existert noch ein quadratischer Term muss er durch eine Transformation z:=x-a beseitigt werden.
Durchgeführt ist dieses auf der Cardano-Seite und auf der zugehörigen Cardano-Beweis-Seite.

Weiter ist die Methode auf der Seite zum 7-Eck verwendet.

Gleichung 3. Grades in der Cardano-Standard-Form

Die Idee ist, dass sich die Lösungen ergeben sollen als Schnittstellen der Normalparabel und eines Kreises durch den Ursprung. Erfüllt sein soll also:

Einsetzen und Umformen ergibt

Ersichtlich erhält man neben der trivialen Lösung x=0 die gewünschte kubische Gleichung, wenn man

, also

wählt. Der Kreis um M(a,b) durch den Ursprung schneidet also die Normalparabel an den Lösungsstellen

. Von diesen muss mindestens eine existieren. In GeoGebra kann man Kreise und Parabeln konstruktiv zum Schnitt bringen. Daher handelt es sich um exakte Konstruktion mit zusätzlichem "Parabellineal".

Beschreibung der Quasi-Konstruktion

Konstruktion: Gegeben sind p und q. Spiegele P=(0,p) in P'=(0,-p) und Q=(q,0) in Q'=(-q,0). Konstruiere Mp als Mitte von P' und E=(0,1) und konstruiere Mq als Mitte von Q' und (0,0). Konstruiere M aus Mp und Mq mit Senkrechten. Schlage um M den Kreis durch den Ursprung. Zeichne die Normalparabel y=x^2 ein. (Achtung: y=x^2 wirklich eingeben, dann wird die Parabel als Kegelschnitt erkannt.) Nun erzeugt man mit dem Schnitt-Werkzeug die Schnittpunkte von Parabel und Kreis. Die Schnittstellen sind die gesuchten Lösungen. Als Probe kann man die Funktion (gestrichelt) einzeichnen und mit dem Befehl Nullstellen[f] bestätigen sich die konstruktiv erzeugten Stellen.
Anmerkung: Mit dem letztgenannten Befehl erzeugt GeoGebra numerische Lösungen, auch das Schnitt-Werkzeug bietet immer nur numerische Lösungen. Es geht aber darum, dass die hier vorgestellten "Quasi-Konstruktionen" mathematisch exakt sind.

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Winter Feb. 06 update 03. Juni 2012

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