Platonische Körper

Die vollständig regelmäßigen Polyeder bezeichnet man als platonische Körper
Sie haben kongruente regelmäßige Seitenflächen und kongruente Ecken,
d.h. an jeder Ecke stoßen gleich viele dieser Flächen zusammen.
Das Wort "Polyeder" heißt "Vielflächner".

Didaktische und philosophische Anmerkung

Alle Platonischen Körper Warum sind das wirklich alle? Geschichtliches Didaktische und philosophische Überlegungen

Körper

Namen Hexaeder
Sechsflächner
Würfel
Kubus Tetraeder
Vierflächner
regelmäßige Dreickspyramide Oktaeder
Achtflächner
regelmäßige
quadratische Doppelpyramide Ikosaeder
20-Flächner Dodekaeder
12-Flächner

Platons Zuordnung Erde Feuer Luft Wasser Weltganzes

Körper in Bewegung (Java) Würfel Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Dodekaeder

Platonische Körper in Archmedes3D Oktaeder Aufgabe Lösung
Dateien in Archimedes3D: Winkel im Oktaeder Inkugel Innenwürfel 1 Seitenkonstr. Innenwürfel 2

Zahl der
Flächen,
die an einer Ecke
zusammen-
stoßen Form der Seitenflächen,
es müssen regelmäßige Polygone sein

gleichseitiges
Dreieck Quadrat regel-
mäßiges
Fünfeck regel-
mäßiges
Sechseck

3
Mindestzahl
für eine
räumliche
Ecke
Tetraeder
Hexaeder
Dodekaeder

4
Oktaaeder 4*108° > 360°,
darum kann es keine weiteren
Körper mit vier Flächen
an einer Ecke geben.

5
Ikosaaeder Vier Quadrate,
ebenso sechs gleichseitige Dreiecke und
drei regelmäßige Sechsecke,
die aneinanderliegen, bilden mit ihren Eckwinkeln einen Vollwinkel,
man kann keine keine räumliche Ecke erzeugen.

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Platonische Körper, die Graphentheorie und der Eulersche Polyedersatz

Bei seinen philosophischen Überlegungen zur Stuktur der Materie setze Platon (427- 348 v. Chr.) einen qualitätslosen Grundstoff voraus, dem die geometrischen Formen der regelmäßigen Körper aufgeprägt werden. Dabei kann man Feuer, Luft und Wasser, die alle mit Dreiecken aufgebaut sind, ineinander umwandeln, und zwar genau entsprechend der Anzahl der Dreiecke: zwei Teile Feuer ergeben ein Teil Luft, fünf Teile Luft ergeben 2 Teile Wasser. Aus Erde (Quadrat) kann hierbei kein Stoff anderer Art werden. Ebensowenig gilt das für das Dodekaeder , dieser "Gestalt bediente sich Gott für das Weltganze" [Timaios 53 c - 57 c] [Dieser Absatz aus: Gericke, Mathematik in Antike und Orient, Fourier, Wiesbaden 1992]

Der Mathematiker und Astronom Johannes Kepler hat am Beginn der Neuzeit um 1600 in seiner Vorstellung vom "mysterium cosmographicum" die platonischen Körper mit dem Planetensystem in Verbindung gebracht. Er sah darin einen Ausdruck göttlicher Vollkommenheit.

Didaktische und philosophische Anmerkung

Obige Überlegungen, dass es diese und nicht mehr platonische Körper gibt, ist für mich eines der wunderbarsten elementaren Beipiele für die Kraft menschlichen Denkens. Darum nutze ich ab Klasse 6, wenn der Winkelbegriff gebildet ist, bis zu den ältesten meiner Schüler und Studenten jede Gelegenheit, diesen Gedanken zu fassen. Es ist ja nicht so, dass eben Platon diese fünf gefunden hat und vielleicht jemand einmal noch einige findet, sondern es kann nicht mehr davon geben. Und das wird nicht einer Autorität geglaubt oder nachgeplappert, sondern beruht dann auf jeweils eigener Einsicht der Lernenden.

Die platonischen Körper kommen in der Natur nur in angenäherter Gestalt vor. Mineralogie und Kristallografie klassifizieren mit "Idealgestalten", bei Ihnen sind aber andere Formen, z. B. Sechsecksäulen beim Basalt, genauso wichtig. Die platonischen Körper sind in diesem Sinne eine reine "Erfindung des Menschen". So haben diese Überlegungen in dem großen EXPO-Projekt des Johanneums im Jahre 2000 ihren Ort gehabt.
Damit sind sie aber nicht einfach nur so "ausgedacht", sondern sie sind eine geistige Wahrheit, die wir mit unserem menschlichen Geist erfassen können, jedenfalls ist dies mein Standpunkt in einer alten philosophischen Frage.
[Computer] [DGS] [Geometrie]

Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn Frühjahr 1998 update 14. August 2011

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Körper
Namen	Hexaeder Sechsflächner Würfel Kubus	Tetraeder Vierflächner regelmäßige Dreickspyramide	Oktaeder Achtflächner regelmäßige quadratische Doppelpyramide	Ikosaeder 20-Flächner	Dodekaeder 12-Flächner
Platons Zuordnung	Erde	Feuer	Luft	Wasser	Weltganzes
Körper in Bewegung (Java)	Würfel	Tetraeder	Oktaeder	Ikosaeder	Dodekaeder
Platonische Körper in Archmedes3D Oktaeder Aufgabe Lösung Dateien in Archimedes3D: Winkel im Oktaeder Inkugel Innenwürfel 1 Seitenkonstr. Innenwürfel 2

Zahl der Flächen, die an einer Ecke zusammen- stoßen	Form der Seitenflächen, es müssen regelmäßige Polygone sein
Zahl der Flächen, die an einer Ecke zusammen- stoßen	gleichseitiges Dreieck	Quadrat	regel- mäßiges Fünfeck	regel- mäßiges Sechseck
3 Mindestzahl für eine räumliche Ecke	Tetraeder	Hexaeder	Dodekaeder
4	Oktaaeder		4*108° > 360°, darum kann es keine weiteren Körper mit vier Flächen an einer Ecke geben.
5	Ikosaaeder	Vier Quadrate, ebenso sechs gleichseitige Dreiecke und drei regelmäßige Sechsecke, die aneinanderliegen, bilden mit ihren Eckwinkeln einen Vollwinkel, man kann keine keine räumliche Ecke erzeugen.
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