Schüler fragen zu IFS-Fraktalen

Kleine Email-Korrespondenz mit Schülern, die eine Facharbeit schreiben.

Betreff: Re: Chaosspiel
Datum: Sat, 13 Mar 1999 11:20:21 +0100
Von: "Dr. Dörte Haftendorn" <doerte-haftendorn_at_fbat.uni-lueneburg.de> (veraltete Adresse)
An: Friedrich <Christian-Friedrich_at_t-online.de>
Referenzen: 1

Friedrich schrieb:

Sehr geehrte Frau Dr. Haftendorn,

Wir sind zwei18 jährige Schüler des Matthias-Claudius-Gymnasiums in Gehrden bei Hannover und behandeln im Leistungskurs Mathemathik zur Zeit das Thema "Chaos und Fraktale". Wir sollen dazu eine Hausarbeit über das Chaos-Spiel verfassen. Daher möchten wir Sie ganz herzlich bitten, uns Informationen oder Büchertips - speziell über die Bildung von Fraktalen außer dem Sierpinski-Dreieck - zu senden.

Wir würden uns über möglichst baldige Antwort freuen, da die Arbeit bis zum 22.03.99 abgegeben werden muss.
Mit freundlichen Grüßen Christian Friedrich und Sebastian Beck

Reichlich Anregungen in dem 1. Buch von Peitgen (siehe mein Lit. Verz.)
Laden Sie sich mein Programm IFS.Pas und ifs.exe herunter und lesen Sie die Hinweise zum Herunterladen, damit Ihnen nicht entgeht, wir Sie mit dem Verzeichnis ifsdaten umgehen müssen.

Dort können Sie Ihre eigenen Ifs-Fraktale frei erfinden. Meine Erfindungen sind in IFSdaten und vom Programm aus unter l (Laden) zu haben.

In dem Menu ist option f der Fraktale Regen, den man später meist Chaosspiel genannt hat.
a gibt die definierenden Abbildungen als Bild an, wenn Sie das nicht verstehen, studieren Sie nochmal meine Seite dazu
IFS-Fraktale Achtung seit 2010 schön erklärt in meinem Buch http://mathematik-sehen-und-verstehen.de
sonst fragen Sie nochmal.
m ist spannend, da man da den Prozess des fortgesetzten Abbildens sehr gut verfolgen kann.
Die Abbildung die das macht heißt Hutchinsonoperator des IFSystems.

Ich freue mich, Sie dieses außerordentlich schöne und ergiebige Thema anpacken.

Schöne Grüße
Dörte Haftendorn

Betreff: Re: Chaosspiel

Datum: Tue, 16 Mar 1999 10:25:30 +0100
Von: "Dr. Dörte Haftendorn" <doerte-haftendorn_at_fbat.uni-lueneburg.de>(veraltete Adresse)
An: Friedrich <Christian-Friedrich_at_t-online.de>
Referenzen: 1

Friedrich schrieb:

Sehr geehrte Frau Dr. Haftendorn vielen Dank für ihr Schreiben vom 13.3., wir konnten Ihre Informationen und Ihr TP-Programm sehr gut gebrauchen.Da Sie uns das Angebot gemacht hatten, nocheinmal nachzufragen, möchten wir Sie bitten, uns folgendes zu eklären:Auf Ihrer Intenet Seite
http://www.uni-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/chaos/ifs/ifs.htm
Heute ist der Link
zeigen Sie, wie der Zapfen oder andere Fraktale entstehen. Unsere Frage hierzu ist, wo bei der Erzeugung der Zufall, also das Chaosspiel bzw. der fraktale Regen, in Erscheinung tritt. Für uns scheint das IFS-Fraktal lediglich mit einer "Mehrfachverkleinerungskopiermaschiene" erzeugt worden zu sein.

Das haben Sie ganz richtig verstanden, der Zufall spielt beim "Chaosspiel" keine entscheidende Rolle:

Also: Ein IFS-Fraktal wird vollständig definiert -und damit auch determiniert- durch sein Funktionensystem, ein Menge von affinen Abbildungen. Jede dieser Funktionen bildet die ganzeEbene auf sich ab. Die Rechtecke und Parallogramme (Option a im meinen Programm) verdeutlichen anschaulich, was sie tun, indem z.B. durch ein kleines schräges, verschobes Parallelogramm gezeigt wird, was die Abbildung mit dem großen Ausgangsrechteck macht. (affine Abb ist parallenlenerhaltend).

Im meinem Programm können Sie auch das Wirken einzelner Abb. verfolgen.

Man hat nun mehrere Möglichkeiten, zu veranschaulichen, was die iterierte Anwendung des Funktionensystems tut:

a) Man nimmt einen beliebigen Startpunkt, bildet ihn mit Fkt1 ab. Dann sein Bild mit Fkt2, dann.... Wenn alle Fkt. dran waren, nimmt man wieder Fkt1 und so im Ringelpietz. Man stellt alle Punkte, die dabei entstehen dar, -und zwar in der Farbe der Abb., die den Punkt gerade dahin geworfen hat. Das entstehende Bild hat dann in jeder Farbe gleichviele Punkte, wenn es aber 1 Mill Pkt sind liegen am Bildschirm etliche übereinander. Jedenfalls: die Figur, die man sieht "ist" das Limesbild, der Attraktor, das Zielbild des IFS.
Das "ist" ist nur eingeschränkt durch ein Paar Pixel aus dem Startvorgang und die Pixelgenauigkeit selbst.
Sie sehen, da ist kein Zufall im Spiel.
b) Statt die Fkt der Reihe nach dranzunehmen, wählt man zufällig, aber gleichmäßig, aus. der Effekt ist derselblbe.
c) Man wählt zufällig, aber nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus. Funktionen, die das Ausgangsrechteck wenig verkleinern, bekommen eine größere Wahrscheinlichkeit, (z.B. beim Farn rechts) als die, die stark verkleinern. Wenn man das wirklich von der Fläche der Parallelogramm abhängig macht, hat man hinterher pro Flächeneinheit gleichviele Punkte. Bei 1 Mill Punkte ist das aber auch egal. Mein Programm macht es so, die Fläche ist über die Determinante der Abbildung zu haben.
d) Man wendet die Fkt statt auf einen Startpunkt auf ein beliebiges Startbild, z.B. einen Text, an. Nimmt man nur eine Abb. einmal, wird der Text schräg verzerrt verkeinert verschoben. Man wendet aber jede Abb. auf das Ausgangsbild an und stellt alle (z.B. 4) so erhaltenen Bilder gleichzeitig dar. Dazu sagt man: der Hutchinson-Operator ist einmal angewendet worden. Nun iteriert man wieder, stellt aber immer nur das letze Bild dar. (bei meinem Programm Option m) Peitgen sagt dazu MVKM.
Man kann beweisen mit Methoden, die in der Schule nicht möglich sind (Euer Lehrer oder Lehrerin wird den Hinweis "Banachscher Fixpunktsatz" verstehen), dass der Hutchinson Operator dasselbe Limesbild hat, wie die Methoden a) bis c). Man kann sogar zu vorgebenem "Epsilon" ausrechnen, wie oft man ihn anweden muß, damit man einen "Abstand" kleiner als Epsilon von dem Limesbild hat. Das Problem: was ist der "Abstand von Bildern" ist auch nicht so ganz schulgemäß. Die intuitive Vorstellung ist nicht aber so ganz verkehrt.

Damit ist also klar, dass das "Chaosspiel" eigentlich deterministisch ist, der Zufall eine höchst untergeordnete Rolle spielt, und dass die MVKM und alle oben genannten Methoden dieselbe Grenzfigur, nämlich das IFS-Fraktal haben.

Weiterhin verstehen wir Ihre Formulierung "Der Punkt wird mit der Abbildung abgebildet und in der Farbe der gewählten Abbildung gezeichnet" leider nicht.
Es wäre ausgesprochen freundlich von Ihnen und sehr hilfreich für uns, wenn Sie uns dies nocheinmal erläutern könnten.
Mit freundlichen GrüßenChristian FriedrichSebastian Beck

Das ist wohl nun klar geworden. Es zeigt sich also, dass die IFS-Fraktale mathematisch besonders ergiebig sind, spannend, interessant und keinesfalls eine "Spielerei". Danken Sie Ihrem Lehrer oder Ihrer Lehrerin, dass Sie so etwas Schönes als Facharbeitsthema gestellt bekommen haben.

Hoffentlich hat's genützt,
Viele Grüße
Dörte Haftendorn

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Dr. Dörte Haftendorn
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21334 Lüneburg
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