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Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik.
Mathematik mit MuPAD 3, Prof. Dr. Dörte Haftendorn 24.04.02 Version vom 12.10.05

Binär dargestellte Zahlen, auch Dualzahlen genannt, und Hexadezimalzahlen kommen im Zusammenhang mit Computern häufig vor.
Daher ist es für den Informatiker wichtig, die Grundlagen zu verstehen.
Man sollte auch verstehen, dass man mit den so dargestellten Zahlen rechnen kann.
Arithmetik = Lehre von den Rechenverfahren.
Inhalt dieser Datei: Zahldarstellung LEVEL 1
Zahldarstellung LEVEL 2
Rückwärtsumwandlung LEVEL 1
Rückwärtsumwandlung LEVEL 2
Zusammenhang zwischen Dualzahlen und Hexzahlen
Zusammenhang zwischen Hexzahlen und Farben in HTML
u.a. Computeranwendungen
Rechnen mit Dualzahlen LEVEL 1
Rechnen mit Dualzahlen LEVEL 2
Rechnen mit Dualzahlen, Komplementaddition LEVEL 3


Zahldarstellung, LEVEL1
Umwandlung von Ganzen Zahlen (=Integerzahlen) in andere Darstellungen (in MuPAD)

• int2text(35,2);  //verwandle 35 in eine Dualzahl 

Man sieht, dass das Ergebnis ein String ist. das soll in dieser Lern-Datei als Kennzeichnung von den nicht-dezimal
dargestellten Zahlen dienen. Um welche Darstellung es sich handelt soll aus dem Kontext hervorgehen.
Lies den Befehl: "integer to text" also "Wandlung Integer zu Text" ( 2 als "to" wie bei den Rucksäcken 4YOU)

Liste von Quadratzahlen in dezimaler, in dualer und in hexdezimaler Darstellung

• i^2 $ i=1..15

• int2text(i^2,2) $ i=1..10
  

• int2text(i^2,16) $ i=1..15

Für die Darstellung im Hex-System werden bekanntlich für die Ziffern 10 bis 15 die Buchstabe A bis F verwendet.

• int2text(i,16) $ i=1..20

Zahldarstellung LEVEL 2
Mathematisch lässt sich jede Zahl g zur Grundlage einer Zahldarstellung machen, man sagt dann: g-adische Darstellung.
Dabei gibt es g Ziffern. Für g >10 bis g<=36 werden nachfolgend die Buchstaben aus dem Alphabet genommen.
In MuPAD gibt es für die Umwandlung zwei Befehle:

• int2text(9,5)  //Also: 9 ist (1 mal 5 + 4)

• numlib::g_adic(9,5) //Also: 9 ist (4 + 1 mal 5)  Anders herum wie oben!

• int2text(100,36)  //Also: 100  ist (2 mal 36 + (9+19),S ist der 19. Buchstabe)
  

• //int2text(100,37)  //Klappt nicht, weil die Buchstaben nicht reichen.

• numlib::g_adic(100,37) //Also: 100 ist 26 + 3 mal 37

Der Befehl aus dem Package "Zahlentheorie" ist also umfassender anwendbar.

Rückwärtsumwandlung LEVEL 1

• text2int("10110101",2)

• 1*2^7+0*2^6+1*2^5+1*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0 //"von Hand"

• text2int("b5",16)

• 11*16+5//"von Hand"

Rückwärtsumwandlung LEVEL 2
Ins und aus dem 60-iger System der Babylonier ins Dezimasystem:

• babylon:=numlib::g_adic(400000,60)

• 40+6*60+51*60^2 +1*60^3  //von Hand

Definition einer Funktion, die eine "babylonische Zahlenliste" in eine Dezimalzahl verwandelt.

• babylon2dez:=proc(bab)
               begin
                   dez:=0; 
                   for i from 1 to nops(bab) do 
                      dez:=dez+bab[i]*60^(i-1) 
                    end_for;  
                   return(dez)
               end_proc:

• babylon2dez(babylon)

Definition einer Funktion, die eine "g_adische Zahlenliste" in eine Dezimalzahl verwandelt.

• g_adic2dez:=proc(g_zahl,g)
               begin
                   dez:=0; 
                   for i from 1 to nops(g_zahl) do 
                      dez:=dez+g_zahl[i]*g^(i-1) 
                    end_for;  
                   return(dez)
               end_proc:
  

• g_adic2dez(babylon,60)

• ziemlich_gross:=numlib::g_adic(65530,2) //als Dualzahl umgekehrt zu lesen!!!

• g_adic2dez(ziemlich_gross,2)

• 2^16 -1//soviele positive ganze Zahlen kann man mit 2 Byte darstellen.

• int2text(65535,2)

Funktion, die eine g-adische Zahlenliste umdreht:

• g_adic2zahl:=proc(g_liste,g)
                local li,la, i;
                begin
                   li:=[];la:=nops(g_liste);
                   for i from 1 to nops(g_liste) do
                      li:=li.[g_liste[la+1-i]]
                   end_for;
                   return(li);
                 end_proc;

• g_adic2zahl(babylon,60)

• g_adic2zahl(ziemlich_gross,2)

• int2text(65530,2)

Zusammenhang zwischen Dualzahlen und Hexzahlen
Da man Dualzahlen wegen ihrer vielen Einsen und Nullen so schecht lesen kann ohne sich zu verzählen,
werden sie der Informatik in 4-Blöcke aufgeteilt. Jeder 4-Block wird dann eine hexadezimale Ziffer umgewandelt.
Das klappt, weil "1111" dual=15 dez =F hex, also weil 2^4 -1=16 -1 ist.

• [i,int2text(i,2),int2text(i,16)] $ i=1..8     // Dez, dual, hex

• [i,int2text(i,2),int2text(i,16)] $ i=9..15

• text2int("101001011101",2),text2int("A5D",16)    
  //A5D kann man besser lesen als die Dualzahl

Zusammenhang zwische Hexzahlen und Farben in HTML u.a. Computeranwendungen
Ein Byte hat 8 Bit, also zwei 4-Blöcke, also zwei Hex-Ziffern, wenn man im
RGB-Sytem (Rot-Grün-Blau) für eine Grundfarbe also 1 Byte verwendet, kann
man sie Farbe in 2^8 Stärken angeben, also von 0 bis 255 (in vielen Malprogrammen)
oder von 00 bis FF Hexdezimal in HTML.
Die Angabe color="#FFAA35" in HTML heißt also:

• text2int("FF",16),text2int("AA",16),text2int("35",16)

Rot in voller Stärke, reichlich Grün (177/255) und Blau in Stärke 53/255 also etwa 20%
Dieselbe Farbe wird in den meisten CAS mit RGB(1,0,0.2) angeben, also jede Farbe in Prozent der vollen Stärke 1.

• plot(plot::Function2d(x,x=-1..1,BackgroundColor=[1,170/255,0.2]))

Rechnen mit Dualzahlen LEVEL 1
Da in MuPAD die Dualdarstellung mit Strings oder Listen realisiert wird, muss man sich die Rechenoperationen
sebst definieren.

• plus_bin:=(x,y)->(int2text(text2int(x, 2)+text2int(y,2),2)):
  plus_bin("10110","101")

• mal_bin:=(x,y)->(int2text(text2int(x, 2)*text2int(y,2),2)):
  mal_bin("10110","101")

• int2text(-10,2)   // Das Negative einer Dualzahl 

• plus_bin("10110","-101")  //Da ist dann die Subtraktion
  

Division kann nur in den Fällen, die "aufgehen", in dieser einfachen Weise programmiert werden.

• //int2text(0.10,2)

Rechnen mit Dualzahlen LEVEL 2

• div_bin:=(x,y)->(int2text(text2int(x, 2) div text2int(y,2),2)):
  div_bin("10110","101")          //Ganzzahlige Division dual

• mod_bin:=(x,y)->(int2text(text2int(x, 2) mod text2int(y,2),2)):
  mod_bin("10110","101")        //Rest bei ganzzahlige Division dual

Wenn man weiß, dass beim Dualbruch die Stellen hinter dem Komma 1/2, 1/4, 1/8,.... bedeuten,
kann man versuchen, Dualbrüche zu berechnen:
Aufgabe: Bestimme 1/5 als 12-stelligen Dualbruch

• int2text(floor(1/5 *2^12),2)  // floor rundet immer ab.

Also ist 1/5 = dual 0,001100110011 , es mussten ja 12 Stellen werden

• int2text(floor(1/5 *2^24),2)  // 1/5 ist ein periodischer Dualbruch!!!!!!!

• dez

Rechnen mit Dualzahlen, Komplementaddition LEVEL 3
Subtrahieren ist gar nicht so ganz einfach, da man die Überträge "leihen" muss.
Das lässt sich nicht gut elementar programmieren. Daher wird auf der elementaren Rechenebene des
Computers "mit Komplement-Addition subtrahiert".
Zum Verständnis wird das hier zunächst im Dezimalsystem vorgeführt:

• 523-154 //Rechen Sie das schriftlich von Hand!

"Minuend - Subtrahend = Differenz"
Rezept für a-b durch Komplementaddition:
Bilde das 9-Komplement zum Subtrahenden. Addiere dieses zum Minuenden.
Fall a>b: Wenn vorn Übertrag 1 kommt, lass die 1 weg.
Addiere 1 zum letzten Ergebnis und du erhältst die Differenz

• 523,9999-154,523+(9999-154),523+(9999-154)-10000,523+(9999-154)-10000+1

• 532-654 //In diesem Fall muss man von Hand andersherum rechnen.

"Minuend - Subtrahend = Differenz"
Rezept für für a-b durch Komplementaddition:
Fall a <b: Bilde das 9-Komplement zum Subtrahenden. Addiere dieses zum Minuenden.
Wenn vorn kein Übertrag 1 kommt, bilde das 9-Komplement vom letzten Ergebnis,
nimm es negativ und du erhältst die Differenz.

• 523,9999-654,523+(9999-654),523+(9999-654)-9999

• 532-654

Man sieht, dass man der der Subtraktion durch Komplementaddition nicht vorher wissen muss,
welche Zahl die größere ist. Für eine Programmierung braucht man lediglich eine Verzweigung
nach dem Zwischenergebnis :Summe mit den Neunerkomplement.

Durchführung mit Dualzahlen.
Das 9-Komplement ist nun einfach die Vertauschung von 0 und 1 in der 8-Bit-Darstellung.
Aufgabe: Bilden Sie die Differenz 132- 58 mit Dualzahlen und Komplementaddition:

• int2text( 132,2),int2text( 58,2), int2text(255-58,2)

• cc

• k_add_reduziert:=substring(k_add,1,length(k_add)-1)

• differenz:=plus_bin(k_add_reduziert,"1")

Probe:

• plus_bin("10000100","-111010")

Aufgabe: Bilden Sie die Differenz 132- 213 mit Dualzahlen und Komplementaddition:

• int2text( 132,2),int2text( 213,2), int2text(255-213,2)

• k_add:=plus_bin("10000100","101010")

Dies sind nun nur 8 Stellen, daher ist das Negative des Komplements die gesuchte Differenz:

• plus_bin("-11111111","10101110")

Probe

• plus_bin("10000100","-11010101")

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