Simulation von Bernoulliketten
Grundbegriffe
- Ein Bernoulliversuch ist ein ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen: ja /nein oder Treffer/Niete .... Die Wahrscheinlichkeit für "ja" sei p.
- Eine Bermoullikette der Länge n sind n Bernoulliversuche mit
immer demselben p
- Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der "ja" in der Kette der Länge n
- Die Zufallsgröße X ist binomial verteilt. Die Binomialverteilung hat die Parameter n und p.
- P(X=k)= (n über k) p^k q^(n-k) mit q=1-p
Dies ist de Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X den Wert k annnimmt.
Verwendung dieser Mathematica-Datei: (Nehmen Sie bei schlechter Darstellung einen anderen Browswer)
- Es werden s Bernoulliketten der Länge n, indem s Personen jeder n mal einen Laplace-Würfel mit Zahlen 1 bis w werfen und Zähen wie oft eine bestimmte Zahl (z.B. die 1) dabei war. Diese Ergebnisse werden dann zusammengefasst.
- Klicke mehrmals den Schalter, um mit der unveränderten Einstellung s neue Serien der Länge n herzustellen.
- Jedesmal wird eine Serie von s Bernoulliketten der Länge n und der Trefferwahrscheinlichkeit p=1/w unabhängig neu erzeugt. Die absoluten Häufigkeiten sind dargestellt. Deutung: Ein Balken an der Stelle 8 mit der Höhe 5 bedeutet: unter den s=100 Sülern, der jeder n=30 mal gewürfelt haben, hatten 5 Schüler genau 8 Einsen unter ihren 30 Würfen.
- Beobachte, dass sich die Häufigkeiten von den theoretischen Häufigkeiten, die durch die blauen Punkte angegeben sind, oft sehr unterscheiden.
- Der Grund ist ausschlißlich "der Zufall".
- Erwirb dir ein Gefühl dafür, wie stark die Zufallseinfüsse sind.
- Bewege nun den Schieberegler für s zu größeren s. Die Abweichungen von den theoretischen Werten werden kleiner.
- Löse auch Serien mit großem s mit dem Häkchenbutton öfter aus. Beachte, welcher Anteil der Ketten eine ein Ergebnis außerhalb der 2-sigma-Grenzen haben. Im Schnitte sollten es 5% von s sein. In der Startkonstellation sind es 2 von s=100 , also 2 % , nämlich 1 Schüler mit 10 Einsen und einer mit 11 Einsen.
- Variiere nun auch w, die Zahl der Nummern auf dem Laplace-Würfel. Beobachte ob für große p die Passung mit der Theorie erst für größere s erfolgt.
- Wähle gezielt w=2 und simuliere dadurch den Münzwurf.
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Feb 2005, update 
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