Bogenlänge und Fläche der Rosette
Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD 3.1.1, Mrz. 06 Update 12.03.06
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Implizite Gleichung der Rosette

• (x^2+y^2)^3=c^2*x^2*y^2

• c:=4:rosimp:=plot::Implicit2d((x^2+y^2)^3-4^2*x^2*y^2,x=-2..2,y=-2..2):
  kreis:=plot::Polar([c/2,phi],phi=0..2*PI, LineColor=RGB::Green):
  plot(rosimp,kreis,Scaling=Constrained);delete(c):

c=Durchmesser des Umkreises, unten a:=Radius=c/2
Man kann das von Hand nicht nach y auflösen, darum ist die Darstellung in Polarkoordinaten besser.

• solve((x^2+y^2)^3=c^2*x^2*y^2,y)

• solve((xx+yyy)^3=c^2*xx*yy,yy)

Wie man es auch vesucht, es kommt nichts heraus.
Arbeit in Polarkoordinaten

• r:=phi->(a*sin(2*phi))

• a:=2:

• plotfunc2d(r(phi))

• rg:=plot::Polar([r(phi),phi],phi=0..2*PI):plot(rg)

• delete(a):

• diff(r(phi),phi)

Term für die kleine Bogenlängenänderung

• sqrt(r(phi)^2+diff(r(phi),phi)^2)

Berechnung der Bogenlänge

• int(sqrt(r(phi)^2+4*a^2*cos(2*phi)^2), phi)

Das Integral ist zu schwierig zu berechnen, es gibt keine Stammfunktion.
Einstzen von a=2 bringt auch nichts.
Das bestimmte Integral funktioniert daher auch nicht exakt.

• int(sqrt(r(phi)^2+16*cos(2*phi)^2), phi=0..PI/2)

Numerische Integration hilft da weiter (mit a=2):

• numeric::int(sqrt((2*sin(phi))^2+16*cos(2*phi)^2), phi=0..PI/2)

Das ist also die Bogenlänge eines Blattes.

Fläche der Rosette

Die folgende Formel macht man sich klar, indem man das kleine Tortenstück betrachtet,
das von der kleinen Winkeländerung d phi und dem Radius r gebildet wird,
Dann wird über alle Tortenstückchen summiert, das heißt es wird integriert.

• int(1/2*r(phi)^2, phi)

• delete(a):
  frosette:=1/2*int(r(phi)^2, phi=0..PI/2)

• subs(%, a=2)

Das ist die Fläche eines Blattes bei Radius 2.
Die Fläche der Rosette bei Radius a ist also

• 4*frosette

Sie nimmt also genau die Hälfte des Umkreises ein.

• plot(rosimp,kreis,Scaling=Constrained);