Chaos und Fraktale
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1. und 2.,
3. und 4.
und 5. Stufe
Hier stellt man sich die Stufe 1 als Inititator (Startfigur) vor.
Dabei ist die große waagerechte Stufe dreimal so lang wie einleitende Stufe, dieses kurze
Element sei b.
Bei jedem Schritt
werden die bisherigen waagerechten Elemente beibehalten, ein Drittel des kürzesten
waagerechten Elementes wird in der Mitte waagerecht in das halbierte senkrechte Element a
eingefügt.
Daher wird die Teufelstreppe bei jedem Schritt breiter, aber nicht
höher.
Die Breite wird durch folgende geometrische Summe beschrieben:
Breite = b ( 3 + 1 +2/3 + 4/9 + 8/16 + ....) = b ( 3 +1/(1-2/3)) = 6 b
Trotz dieser endlichen Breite, die nur das Doppelte der großen Anfangsstufe ist, wächst
die Stufenzahl der Teufelstreppe ins Unendliche.
Daher ist die Teufelstreppe ein Fraktal.
Dimension
Die Teufelstreppe ist nicht streng selbstähnlich. Versucht man, verkleinerte Kopien ihrer
selbst zu finden, so stören die gleichlang bleibenden Stücke und die Verschiedenheit der
Stauchfaktoren für senkrechte und waagerechte Längen.
Mit der Selbstähnlichkeits-Dimension kommt man also nicht
zurecht.
Bei einer Messung der Boxdimension wird vermutlich etwa d=1
herauskommen.
Didaktik
Die Teufelstreppe läßt sich recht leicht auf Karopapier zeichnen. Die Überlegung zur Breite ist im Thema geometrische Reihen sinnvoll. Sie ist ein schönes Beispiel dafür, dass Fraktale zwar ihren Namen von der möglicherweise nichtganzen (gebrochenen) Dimension haben, dass es aber auch Fraktale mit Dimension 1 gibt.
Axiom A
Regeln A ABA
Der Baustein B tritt als eigene Prozedur auf.
B BBB
Deutung A=F+V-
B=FFF
+=90° links -= 90° rechts
F und V erscheinen als vorwärts-Befehle mit Schrittweiten a bzw. b
Berücksichtigt man die Deutung, so kann man das Axiom in der
Abbruchbedingung der Rekursion wiedererkennen.
Weg-Prozeduren mit Igelgraphik Hier
gezeigt in LOGO, ebenso geht es mit Turtlegraphik in Pascal.
PR teufel :n :b :a
wenn :n = 0 dann vw :b li 90 vw :a re 90 rk
teufel (:n-1) (:b/3) (:a/2)
teufelmitte (:n-1) (:x/3)
teufel (:n-1) (:b/3) (:a/2)
ENDE
PR teufelmitte :n :b
wenn :n=0 dann vw 3*:b rk
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
ENDE
Fazit: L-Systeme lassen sich
in rekursive Weg-Prozeduren übersetzen. Hier ist dies für ein Beispiel ohne
Knoten gezeigt. In Pascal lassen sich auch die Knoten einfach rekursiv verwalten. In LOGO
ist es vernünftig, eine dynamische Liste für die Knotenkoordinaten zu eröffnen.
Die naheliegende Versuch, das Lindenmayerwort wirklich zu bilden, stößt leider sehr
schnell an die Grenzen der Speichermöglichkeiten. Man muß es während seiner Bildung
sofort "abarbeiten".-
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Autor: © [Dr. Dörte Haftendorn] Datum März 97. Letzte Änderung am
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