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Archimedes: Quadratur der Parabel

Quadratur meint "Flächeninhaltsbestimmung".
Dahinter steckt die Vorstellung, dass man die Fläche, wenn man sie erstmal kennt, als Quadrat darstellen kann.

GeoGebra archi1	Schon lange bin ich auf die besonderen Verhältnisse bei Parabeln und anderen Polynomen gestoßen. Diese habe ich in meinem Schwerpunkt Polynome im Affenkasten zugänglich gemacht. Bei den Parabeln habe ich "Bärenkästen" gesagt. Mit diesen Erkenntnissen kann man viel anfangen, nicht nur didaktisch. Die Keplersche Integrations-Regel folgt daraus unmittelbar. Aber woher hat Kepler (lange vor Erfindung der Integralrechnung) das gewusst? Antwort: Kepler hat die Werke des Archimedes gekannt, so auch seine Ausschöpfung der Parabel.download Mit der linken Darstellung ist ein griffigerer Beweis als unten vorgestllt. Im Folgenden werden gestuft aufgebaute Geogebra-Dateien vorgestellt. Es aber auch die Bilder einsetzbar und erläutert.
GeoGebra archi2	GeoGebra archi3
	Hier macht Archimedes Den entscheidenden Schritt: Er beginnt die Reste bis zur Parabel mit weiteren solchen Dreiecken auszuschöpfen. Daher heißt dies ausch "Exhaustions-Methode des Archimedes". GeoGebra archi4 Interaktiv mit GeoGebra
	Nun übernehmen die hellblauen Dreiecke die Rolle, die bisher das lila Dreieck gespielt hat. Zwei grüne Dreiecke haben alsoein Viertel der Fläche von „ihrem“ hellblauen. GeoGebra archi5 Man kann mit den Tangenten in den "Dreicksspitzen" auch eine umfassende Folge erzeugen, die gegen dieselbe Fläche konvergiert. Außerordentlich spannend ist, dass die so modern anmutende Absicherung auch schon von Archimedes gemacht worden ist.

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Sept. 2003, update 14. August 2011

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