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[Kurven] [Lehre] [Kegelschnitte] [Höhere Kurven] [Projekt Klasse 8 Johanneum]    © Prof. Dr. Dörte Haftendorn

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Rasterblätter für die Erkundungsarbeit
für Parabel    für Ellipse und Hyperbel

Hinweis: Die hier vorgestellte Möglichkeit, Kurven punktweise durch Abzählen zu erzeugen, ermöglicht das Üben für eine Klassenarbeit. Zu den Konstruktion 1,2,3 passen dann 6 und 7, die auch an die Handlungsweise mit dem Faden anknüpfen. Zu K4 passt als Transfer K5. Ein guter Vorschlag für eine Klassenarbeitsaufgabe, die zu K4 und K5 passt, ist auch die Versiera (Extrablatt)
Klassenarbeit

Algebraische Kurven Arbeitsblatt Kurven Klasse 8 Seite 1 / 3

Dr. Haftendorn Dez 2001 und Sept.2002

Beim Einsatz in höheren Klassen (ab Pythagoras-Kenntnis) und Uni sind die Gleichungen sinnvoll.
Lösungsseiten mit Gleichungen

Konstruktion 1

Der Punkt P hat von der senkrechten Geraden g dieselbe Entfernung wie von dem Punkt F. Man kann das durch Abzählen der Kreise und Karos feststellen. F heißt Brennpunkt und g heißt Leitgerade.
Erzeuge durch Abzählen weitere solche Punkte P.
Der geometrische Ort aller P heißt Parabel.

Handlungshilfe: P liegt auf der 12. Senkrechten Karolinie von links und auf dem 12. Kreis um F.

Wo die 13. Karolinie den 13. Kreis schneidet ist wieder eine richtige Stellung für P, usw.

Konstruktion 2

Ist für P die Entfernung von F nur halb so groß wie die von g, so entsteht eine Ellipse.

Handlungshilfe: 6. senkrechte Linie und 3. Kreis liefert zwei Stellungen für P, dann 8. Linie und 4. Kreis usw.

Konstruktion 3

Ist für P die Entfernung von F dreimal so groß wie die von g, so entsteht eine Hyperbel.

Handlungshilfe: 2. senkrechte Linie und 6. Kreis liefert eine Stellung für P, dann 3. Linie und 9. Kreis usw.

Konstruktion 4

P liegt auf der Geraden BQ und hat von der waagerechten Geraden denselben Abstand wie Q. Das kann man durch Abzählen von Karos feststellen.

Wenn Q auf dem Kreis wandert, bewegt sich P auf einer "Kissoide", einer "Efeu-Kurve".

Erzeuge weitere Punkte P.

Handlungshilfe: Rücke Q eine waagerechte Karolinie herunter und verbinde Q mit B. Auf dieser Gerade und genau eine Karolinie höher liegt der neuer Punkt P.

Algebraische Kurven Arbeitsblatt Kurven Klasse 8 Seite 2 / 3


Konstruktion 5

P liegt auf der Geraden BQ und hat von der waagerechten Geraden durch B denselben Abstand, den Q von der waagerechten Geraden durch M hat. Das kann man durch Abzählen von Karos feststellen.
Wenn Q auf dem Kreis wandert, bewegt sich P auf einer "Strophoide", einer "Seil-Kurve".

Erzeuge weitere Punkte P.


Konstruktion 6

Gesucht ist der geometrische Ort aller Punkte, die von den beiden Brennpunkten F1 und F2 die Entfernungssumme 20 Karos haben.

Erzeuge viele solche Punkte durch Abzählen.

Fadenkonstruktion der Ellipse

Handlungshilfe: 20=10+10, also 10. Kreis von F1 und 10. Kreis von F2, ebenso 11. und 9. , dann......

Konstruktion 7

Gesucht ist der geometrische Ort aller Punkte, die von den beiden Brennpunkten F1 und F2 die Entfernungsdifferenz von d=8 Karos haben.

Erzeuge viele solche Punkte durch Abzählen.

Fadenkonstruktion der Hyperbel

Probiere weitere Hyperbeln zu erzeugen, indem du für d auch andere gerade Zahlen wählst.

Achtung: 1Karo = 1 Kästchenbreite = ½ Einheit
Auf den Seiten mit den Gleichungsherleitungen ist 1 Kästchen = 1 Einheit.

Algebraische Kurven Arbeitsblatt Kurven Klasse 8 Seite 3 / 3

Welche gesicherten Punkte haben die Kurven auf dem Kurven-Arbeitsblatt?

Achtung: 1Karo = 1 Kästchenbreite = 1/2 Einheit


Auf den Seiten mit den Gleichungsherleitungen ist 1 Kästchen = 1 Einheit.

Welche Eigenschaften haben die Kurven für große Werte?

Gibt es Grenzen für die x- Werte oder die y-Werte?

Konstruktion

Sichere Punkte

x-Wert beliebig groß?

Grenzen?

y-Wert beliebig groß?

Grenzen?

K1 Parabel

      

K2 Ellipse

      

K3 Hyperbel

      

K4 Kissoide

      

K5 Strophoide

      

K6 Ellipse

      

K7 Hyperbel

      

Welche Gleichungen gehören zu welchen Kurven auf dem Kurven-Arbeitsblatt?

Für K1 bis K7 (ohne K2 und K3) gibt es mindestens eine Gleichung. Prüfe mindestens zwei wichtige Punkte. Achtung, einige Gleichungen kommen sind nur umgeformt worden, allerdings gibt es auch falsche Umformungen. Welche sind das?

A

B

C

D

1

2

3

Beispiel: Aus der Konstuktion ist zu sehen, dass P(4,4) auf der Kissoide liegt. Nun prüfe ich, welche der Gleichungen für x=4 und y=4 eine wahre Aussage ergibt.

Gleich oben links mit A1 habe ich Glück. Das kann die Kissodengleichung sein. (0/0) erfüllt die Gleichung auch. Für y=8 ist die Gleichung unerfüllbar: 0=8³. Das passt auch zur Kissoide. Da keine andere Kurve den Punkt (4/4) enthält, wird dies die Kissoidengleichung sein. C1 und C3 sind Umformungen davon, D3 ist eine falsche Umformung oder eine andere Kurve.

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