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"Haben Hühner eine angeborene Vorliebe für runde Körner?"

Einführungsaufgabe zur beurteilenden Statistik. Die Aufgabenidee verdanke ich dem Buch "Stochastik" von Arthur Engel.
Inzwischen breit ausgeführt in meinem Buch "Mathematik sehen und verstehen"

Mathix arbeitet nun am Konrad-Lorenz-Institut als Verhaltensforscher.

Schritt 1 Anlass und Planung

Weil erwachsene Hühner fast ausschließlich auf runde Körner picken fragen die Forscher, ob das ein erlerntes oder ein angeborenes Verhalten ist. Sie planen, frisch geschlüpften Küken Kreis- und Dreiecks-Attrappen vorzulegen.

Schritt 2 Pickversuch

Das Küken pickt n-mal, dabei trifft es klar entscheidbar Kreis oder Dreieck. (Die Attrappen dürfen sich nicht überlappen.)

Die Wahrscheinlichkeit p, einen Kreis zu picken, ist für jedes Picken gleich,

wenn alles Attrappen sind,
wenn eine große Anzahl Attrappen da ist.

Damit ist der Pickversuch eine Bernoullikette und die Verteilung der Zufallsgröße X=Anzahl der gepickten Kreise ist die Binomialverteilung.

Schritt 3 Formulierung der Hypothesen

Nullhypothese H₀ : Die Küken haben keinerlei angeborene Vorliebe,
p ist (höchstens) gleich dem Anteil der Kreise unter allen Attrappen, p=30% [mehr zur Auswahl von p=0.3]

Forschungshypothese H₁: Die Vorliebe für Kreise ist angeboren, p ist größer als es dem Anteil der Kreise nach sein dürfte, p>30%
Schritt 4 Beobachtung und Rechnungen unter H₀

Mathix beobachtet, wie ein Küken schlüpft und 5-mal pickt, dabei sind 3 Kreise.

Gemäß H₀ ist n=5, k=3 und p=0,30, Histogramm und Tabelle rechts.

Das kritische Gebiet ist {3,4,5}, die Beobachtung und alle im Sinne von H₁noch günstigeren Fälle. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis im kritischen Gebiet liegt, ist P(X >=3)=0,1323+0,0284+0,0024= 0,1631=16%

Diese Irrtumswahrscheinlichkeit ist viel zu hoch.

Mit diesem Versuch kann man gar nichts beweisen. (Auch nicht H₀ !!)

tabell20.gif (4893 Byte) histo20.gif (2575 Byte) Schritt 4 nochmals
Zweite Beobachtung und Rechnungen unter H₀

Mathix beobachtet nochmals, wie ein Küken schlüpft und 20-mal pickt, dabei sind 12 Kreise.

Gemäß H₀ ist n=20, k=12 , p=0.30 und es gilt folgende Verteilung:

Das kritische Gebiet ist {12,13,...20}, die Beobachtung und alle im Sinne von H₁noch günstigeren Fälle.
P(X > 12) = 1-P(X11) = 1-0,9949 = 0,0051=0,5%<0,6%

Diese Irrtumswahrscheinlichkeit ist sehr klein.

Antworten (alternativ)

Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit unter 1% kann man behaupten, Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner.
Auf einem Signifikanzniveau von weniger als 1% kann man die Behauptung, Küken haben eine angeborene Vorliebe für runde Körner, halten.
Mit einer statistischen Sicherheit von mindestens 99% haben Küken eine angeborene Vorliebe für runde Körner, lernen also nicht erst durch Erfahrung, dass nur runde Körner schmecken.
Wir konnten mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit unter 1% die Nullhypothese, Küken lernten das günstige Picken erst durch Erfahrung, verwerfen. Damit vertreten wir die Hypothese, ihre Vorliebe für runde Körner sei angeboren.
Unser Pickversuch zeigte eine hochsignifikante (Niveau kleiner als 1%) Erhöhung des Pickanteils für Kreise. Daher glauben wir eher an eine angeborene Vorliebe.
Wenn Küken wirklich erst durch Erfahrung lernten, dass nur runde Körner schmecken, wäre unser Versuchsergebnis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 1% eingetreten. Mit dieser geringen Wahrscheinlichkeit begehen wir also einen Irrtum, wenn wir nun im Gegenteil behaupten, ihre Vorliebe sei angeboren.
Beziehen Sie die Antwort stets auf die Aufgabensituation!

Anmerkung: n=10, k=6 kann gut vorher noch betrachtet werden. Beachten Sie, dass bei dieser Beispielserie n und k stets im gleichen Verhältnis stehen.

Bei Arthur Engel war die Wahrscheinlichkeit unter Ho p=1/2. Das ist lernpsychologisch ungünstig, da sich dann in den Köpfen festsetzt: Zufall-also 1/2. Das darf für ein Einführungsbeispiel aber nicht sein. p unter Ho ist durch den Anteil der runden Attrappen gegeben und obige 30% haben sich bewährt. Wenn man extra weniger Kreise anbietet, ist der Effekt "sie picken mehr Kreise" -wenn er denn besteht- leichter statistisch nachweisbar.

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