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[Analysis] [3D-Analysis] © Prof. Dr. Dörte Haftendorn

Rotationskörper und ihre Volumina

Sinustorte Hier wird das frei verfügbare CAS Maxima ausführlich in "Lernform" genutzt.	Harmonie der Kegelschnittkörper Diese Quadriken lassen sich besonders einfach bezüglich ihrer Rotationsvolumina untersuche, da die nötigen Quadrate ja direkt vorkommen.
Unten auf dieser Seite ist das Problem "Sinustorte" alsals MuPAD 3-Notebook in Webform dargestellt. Ziel Speichern unter... Da hier ausführliche mathematische Erklärungen folgen, habe ich diese Seite trotz des veralteten MuPAD stehen gelassen. Man kann das im Vergleich zu Maxima auch als Beispiel sehen, dass das benutzte System letztlich egal ist.	Paraboloid-Hut, verschiedene Dastellungen (MuPAD 2.5)

Prof. Dr. Dörte Haftendorn Mathematik mit MuPAD 3 Juli 05
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Inhalt dieser Seite:
Rotation um die x-Achse, Volumen nach Formel
Rotation um die z-Achse, Volumen nach Formel
Formel-Erklärung für x-Achsenrotation Senkrechte Scheibchen
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Formel-Erklärung für z-Achsenrotation, bzw. y-Achsenrotation mit Auflösen den Funktionsgleichung nach x=g(y) Waagerechte Scheibchen
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Formel-Erklärung für z-Achsenrotation bzw. y-Achsenrotation ohne Auflösen den Funktionsgleichung nach x,mit Beibehaltung von y=f(x). Hervorragende, wenig bekannte Methode mit Hohlzylinderchen erklärt
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Durch Anpassung des Funktionsterms für f und der Bereiche kann mit diesem MuPAD-Notebook jede entsprechende Aufgabe bearbeitet werden.
Dasselbe gilt für die ganz oben verlinkte Maxima-Datei
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Rotation um die x-Achse

f:=x->2 - sin(x)

a:=0: b:=2*PI:xmin:=a:xmax:=b: ymin:=0: ymax:=3:

plotfunc2d(f(x),x=a..b,YRange=ymin..ymax)

Welcher Rotationskörper entsteht, wenn dieser Graph
um die x-Achse rotiert? Wie groß ist sein Volumen?

xrot:=plot::XRotate(f(x), x = a..b):plot(xrot)

int(f(x)^2, x)

V:=PI*int(f(x)^2, x=a..b)

Vergleichs-Zylinder

VZ:=PI*ymax^2*(b-a)

Achtung, hier genau das Doppelte.
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Rotation um die z-Achse Üblich ist auch "um die y-Achse" dafür zu sagen. MuPAD nennt das z-Rotation, was ja auch eigentlich logich ist und sich dann besser in 3D-Dastellungen einfügt.

zrot:=plot::ZRotate(f(x), x = a..b):plot(zrot)

int(x*f(x), x)

2 * PI*int(x*f(x), x=a..b)

float(%)

Eigentlich ist noch ein Rand zu zeichnen und
der folgende Graph ist besser:

zrand:=plot::Surface([b*cos(t),b*sin(t),z], t= 0..2*PI,z=0..2):
plot(zrand,zrot)

Vergleichs-Zylinder

VZ:=PI*(2*PI)^2*3

float(VZ)

Probe für die Formel: Kegel

2*PI*int(x*(3/2-x/2), x=0..3)

Vk:=PI*9*3/2/3

Probe für die Formel: Halb-Kugel

2* PI*int(x*sqrt(9-x^2), x=0..3)

VKu:=2/3*PI*27

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Erklärung für x-Achsen-Rotation.

randkurve:=plot::Curve3d([x,0,f(x)], x = a..b,
LineWidth=1):

xscheibe:=plot::XRotate(f(x), x = 4..4.5):
wert:=plot::Curve3d([4.25,0,z],z=0..f(4),LineWidth=5):

plot(randkurve,xscheibe,wert,Axes=Origin)

Zylindrische Scheiben der Dicke dx und dem Radius f(x) haben das Volumen

Alle aufsummiert ergibt das Rotations-Volumen

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Formel-Erklärung für z-Achsenrotation, bzw. y-Achsenrotation mit Auflösen der Funktionsgleichung nach x=g(y)
Es werden nun waagerechte Scheiben der Dicke dy aufeinander geschichtet. Eine solche Scheibe in der Höhe y hat den Radius x=g(y). Man muss also die Gleichung y=f(x) nach x auflösen.
Wenn dass schlecht geht, nimmt man die nächste Methode . g ist eigentlich die Umkehrfunktion von f, geschrieben aber mit der Variablen y.
Dann summiert man alle diese Scheiben auf:

Diese Methode ist verwendet auf der Seite Harmonie der Kegelschnitte, denn die Kegelschnittgeleichungen lassen sich besonders einfach nach x₂ auflösen.
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Erklärung für z-Achsenrotation bzw. y-Achsenrotation ohne Auflösen der Funktionsgleichung nach x,mit Beibehaltung von y=f(x)
Wenn sich die Umkehrfunktion von f nicht bilden lässt, kann man mit der "Zylinder-Methode" arbeiten.

randkurve1:=plot::Curve3d([x,0,f(x)], x = a..b,
LineWidth=1):
randkurve2:=plot::Curve3d([x,0,f(-x)], x = -b..-a,
LineWidth=1):
xringi:=plot::Surface([4*cos(t),4*sin(t),z], t=0..2*PI,z = 0..f(4)):
xringa:=plot::Surface([4.5*cos(t),4.5*sin(t),z], t=0..2*PI,z= 0..f(4)):
wert:=plot::Curve3d([4.25,0,z],z=0..f(4),LineWidth=5):
plot(randkurve1,randkurve2,xringi,xringa,wert,Axes=Origin)

Zylindrische Ringe der Dicke dx an der Stelle x haben das Volumen

Aufsummieren ergibt das Rotationsvolumen bzgl. der Hochachse

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Juli 2005, update 15. August 2012

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