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Die Versiera der Maria Agnesi

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Konstruktion der Versiera (Hexe).

Um den Punkt M auf der y-Achse ist ein Kreis mit dem Radius r=4 und eine Parallele zur x-Achse im Abstand 2r zu sehen.

Q läuft auf der Kreisstraße. Durch den Ursprung und Q verläuft eine Gerade, die die Parallele in H schneidet. Auf die gezeichnete Weise ergibt sich P, P hat also die x-Koordinate von H und die y-Koordinate von Q. Erzeuge weitere Stellungen von P, verschaffe dir einen Überblick über die Ortskurve von P.



Geschichtliches: Maria Agnesi untersuchte diese Kurve 1748 in ihrem Buch Istruzioni Analitiche. In altitalienisch heißt "versiera" sowohl "frei beweglich" als auch "Hexe". In englisch heißt die Kurve nun "Witch of Agnesi". Schon früher hatte Fermat die Kurve untersucht.


Begründe, warum die Punkte B(8/4) und C(-8/4) gesicherte Punkte der Versiera sind und nenne einen weiteren gesicherten Punkt.

Die Gleichung dieser Versiera ist .

Bestätige, dass die drei sicheren Punkte die Gleichung erfüllen.
Berechne zu drei selbst gewählten x-Werten die zugehörigen y-Werte.
Zeichne die drei so gewonnenen Punkte oben farbig ein.
Mathilde hat im Lexikon als allgemeine Gleichung der Versiera gefunden: , welchen Wert hat a in dem obigen Fall?
Mathix hat im Internet als allgemeine Gleichung der "Witch of Agnesi" gefunden: , welchen Wert hat r in dem obigen Fall?
Begründe, warum beide Gleichungen dieselbe Kurve definieren. Was bedeuten a und r?

Mathinchen hat einige Versuche gemacht, die Gleichung umzuformen. Kläre durch Einsetzen eines sicheren Punktes, welche der folgenden Unformungsversuche sicher falsch sind.

a: b: c: d:


Realisierung in Schritten im DGS Dynageo-Euklid

Erzeuge zuerst das rechtwinklige Kreuz bei U.

Du kannst das Koordinatenkreuz nehmen.

Setze M zugfest auf die Senkrechte. Konstruiere den Kreis mit dem Radius MU und erzeuge den Schnittpunkt A, errichte dort eine Senkrechte, also eine Parallele zur x-Achse.

Setze Q zugfest auf den Kreis, verbinde UQ mit einer Geraden, probiere ob alles zugfest ist.

Erzeuge mit dem Schnittpunkt-Werkzeug H und konstruiere mit zwei senkrechten Geraden den Punkt P. Die Geraden sind hier versteckt.

Ziehe an Q und beobachte P, vergleiche mit deiner Von-Hand-Konstruktion oben.


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