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Rekursive Folgen

Spinnweb-Darstellung und erste Erkenntnisse

Eine Folge heißt streng rekursiv, wenn gilt . Jedes gegebene a0 definiert zusammen mit der rekursiven Formel eine neue Folge. f heißt Trägerfunktion der Folge.

Zeichnerisches Verfahren: Starte bei dem gewählten a0. Wiederhole oft:
senkrecht zur Kurve, waagerecht zur Winkelhalbierenden
Rechnerisches Verfahren: Starte bei dem gewählten a0. Berechne mit der Formel, notiere und speichere. Berechne mit der Formel, notiere und speichere. Und so weiter.

	Zu dieser rekursiven Folge gehört diese Trägerfunktion Startet man mit 0, so ergibt sich nacheinander 2, 3, 3.5, 3.75,..... Die Folge ist rechts gezeichnet. Ihr Grenzwert ist 4, abzulesen am Schnittpunkt.
Übung oder Text zum Arbeitsblatt Webversion Arbeitsblatt Zeichnen Sie sich etliche Geraden und Parabeln, die die Winkelhalbierende in verschiedenen Richtungen schneiden und experimentieren Sie mit verschiedenen Startpunkten.

Zu dieser rekursiven Folge gehört diese Trägerfunktion

Startet man mit 0, so ergibt sich nacheinander 2, 3, 3.5, 3.75,.....
Die Folge ist rechts gezeichnet.
Ihr Grenzwert ist 4, abzulesen am Schnittpunkt.

Übung oder Text zum Arbeitsblatt Webversion Arbeitsblatt

Zeichnen Sie sich etliche Geraden und Parabeln, die die Winkelhalbierende in verschiedenen Richtungen schneiden und experimentieren Sie mit verschiedenen Startpunkten.

Gezeichnet sind auf der Übungsseite die Trägerfunktionen für entsprechende rekursiv definierte Folgen.

Als Startwert kann jeder Wert genommen werden. In diesen Zeichnungen sollte er zwischen 0 und 8 liegen.

Fazit aus den Übungen:

Diese Konvergenzbedingungen ergeben sich beim Experimentieren.

Umgang mit Parabeln und Fixpunktberechnungen sind willkommene Möglichkeiten, wichtige Grundtechniken am Anfang von Klasse 11 einzuüben.

Ist der Ableitungsbegriff noch nicht vorhanden, so kann hier eingesehen werden, wie wichtig es ist, sich über die Steigung von Kurven Klarheit zu verschaffen.
Andernfalls ergeben sich reizvolle Aufgaben aus der Bestimmung der Art der Fixpunkte. Weitere Anwendungen ergeben sich bei der logistischen Parabel.

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(1996) Nov. 2002, update 19. April 2007

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