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Rekursion

Ein tragfähiges Konzept für nachhaltigen Mathematikunterricht
in Schule und Hochschule

Warum Rekusion?

Logistische Parabel

Feigenbaumdiagramm

Allgemeine Rekursion

Explizite Folgen
und ihre Grenzwerte

Einführung	Einführendes Beispiel kann ein möglichst handlungsorientiertes Problem sein, das auf eine "rekursive Formel" führt. Es eignet sich der Turm von Hanoi (3 Stangen, n Scheiben...) Man legt n+1 Scheiben um, indem man n Scheiben umlegt, dann die größte Scheibe platziert und dann wieden n Scheiben in a_n Schritten auf diese legt. Die rekursive Formel ergibt sich aus der Handlung. Die "Treppchen-Darstellung" wird daraus entwickelt. Vorgehen: Schreibe zu der rekursiven Formel die "entsprechende Trägerfunktion" auf (kurz Kurve genannt) und zeichne sie zusammen mit der Winkelhalbierenden (Wh). Mache dir klar, dass sich die Folgenwerte graphisch ergeben aus: Von Start zur nach oben zur Kurve Waagerecht zur Wh, senkrecht zur Kurve Waagerecht zur Wh, senkrecht zur Kurve und so weiter.... Einführendes Arbeitsblatt Lösung zum Arbeitsblatt das Arbeitsblatt im Web die Lösungsgrafik Die Lernenden machen erste Erfahrungen, Vokabeln: anziehender, b.z.w. abstoßender Fixpunkt, Einfluss des Startwertes, Abhängigkeit des Verhaltens von der Steigung, .... Spinnweb-Verfahren nochmals ausführlich erklärt, Anleitung zum &Arbeitsblatt, Didaktische Bemerkungen Ziel ist das Fazit
Interaktive Unterstützung der Einführung	Interaktive Möglichkeiten unterstützen das Verstehen Einführung Schritt 1 Geraden vom Arbeitsblatt selbst eingeben Einführung Schritt 2 Geraden vom Arbeitsblatt bequem variieren Einführung Schritt 3 Parabeln vom Arbeitsblatt Spinnwebgraphen an Geraden Die -Erklärungsseite bei der Logistischen Parabel gilt für alle drei TI-Dateien. Anleitung, dieses mit Ti Voyage zu machen Liste mit varabler Länge In der Weise hätte ich gern die logistische Parabel dargestellt. Klappt aber noch nicht. Logistische Parabel Time-Darstellung Weiteres zu Mathematica Als weiteres Werkzeug für diesen Bereich istTurboplot geeignet. Didaktisch wertvoll ist die Umschaltbarkeit zwischen den üblichen Zeit-Graphen und der Spinnwebgraphen. Dazu ist auch das Attraktor-Diagramm (=Feigenbaum-Diagramm) und die Betrachtung der Iterierten möglich. http://www.turboplot.de
Fazit	Merksatz zur Rekursion allgemein, einige Fragen... Fazit:
Begriffe	Die Formeln mit denen man a_n+1 aus a_n berechnet heißen rekursive Formeln (lat: recurrere=zurücklaufen). Wenn man die Folgenwerte von einem Startwert ausgehend nacheinander berechnet, geht man iterativ vor (lat.:iterum=wiederum). Entsprechend sind Rekusion und Iteration verschiedene Sichtweisen auf dasselbe Problem. Ein wirklich rekursives Vorgehen ist für Computer auch möglich. Das kann man besonders gut bei den "Weg-Fraktalen und Lindemayersystemen" und bei den IFS-Fraktalen sehen. Bei den "Mandelbrot- und Juliamengen" und beim Lorenzattraktor (und Verwandten) geht man iterativ vor.
Anmerkung	Rekursion, die Darstellung mit Spinnwebgraphen und zugehöriges Feigenbaumdiagramm ist mit der logistischen Parabel eindrucksvoll und weit verbreitet. Es geht aber mit allen Kurvenscharen, die abhängig von einem Parameter die Winkelhalbierende verschieden steil schneiden. Hier sollen zuerst die Phänomene an dem Standardbeispiel "logistische Parabel" erkärt werden. Dann folgen Beispiele für allgemeinere Fälle. Das ganze, auch schulisch sehr relevante Thema Wachstum ist natürlich mit Rekursion und Iteration verbunden. Dieses steht auf einer eigenen Leitseite.
Logistische Parabel	Logistische Parabel, grundlegende Erkärungen, dieses als Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen mit GeoGebra download Spinnwebgraphen logistischer Parabel logistische Parabel und Iterierte, beide mit den Treppchenfolgen (Löhr) Aus der MuPAD-Datei logistische Parabel mit Euklid-Dynageo geeignet zum interaktiven Erklären des Spinnwebverfahrens Dazu eine ausfürliche Erklärungs- und Aufgabenseite Interaktive Iterationen in Spinnweb-Darstellung mit Schiebereglern in Excel, download Excel-Datei http://www.natur-struktur.ch Sehr schöne und reichhaltige Seiten der schweizer Gregor Lehrer und Martin Lüdi und Über meine Seiten hinaus wird auch die "Schattenbahn" eingegangen. Darunter verstehen sie die Bahn bei nur wenig abweichenden Startwert. Es wird die Sensitivität demonstriert, die beiden Bahnen entwickeln sich schnetll auseinander. Es gibt dagen ein dagegen "Schattenbahn-Lemma", Peitgen nennt es "Beschattungs-Lemma" (Kap. 1.8 in "Chaos, Bausteine der Ordnung"), engl. shadow lemma. Es besagt, das es um jede evt. mit Rundungsfehlern behaftete Bahn einen Epsilonschlauch gibt mit der Eigenschaft, dass es in der Epsilonumgebung des Startwertes einen Startwert gibt, dessen Bahn wirklich ganz in dem Epsilonschlauch liegt. Diese Bahn heißt "Schattenbahn". Das Schattenbahn-Lemma hebelt die Kritik aus, dass man wegen der Rundungsfehler bei Gleitkommazahlen nicht die wahre Bahn sieht.
Feigenbaumdiagramm der Logistischen Parabel	Feigenbaumdiagramm, Attraktordiagramm, dieses als Bild des Feigenbaumdiagramms mit Markierung der wichtigen Stellen (von Nils Löhr, 2009) Allgemein Rekursion und Feigenbaumdiagramm Begündungen zum Feigenbaumdiagramm mit den Iterierten Für Figenbaumdiagramme kenne ich kein besseres und schnelleres Werkzeug als Turboplot geeignet. Didaktisch wertvoll ist die Umschaltbarkeit zwischen den üblichen Zeit-Graphen und der Spinnwebgraphen. Dazu ist auch die Betrachtung der Iterierten möglich. http://www.turboplot.de Sch�ne Feigenbaum-Darstellung und Erl�uterung von J.Bentele, Gymnasium Unterrieden und Sindelfingen.[*.zip]
Erste Aufgaben und Fragestellungen	Aufgabenblatt mit einer Parabelschar, als offene Aufgabe formuliert Iteration an Parabel vom offenen Aufgabenblatt Lösung dazu in Ing-Math 2 Übung zur Rekursion
Rekursion und Iteration allgemein	Iteration an beliebiger Funktion geeignet zum interaktiven Erklären des Spinnwebverfahrens Spinnwebgraphen allgemeinDie -Erklärungsseite bei der Logistischen Parabel gilt für alle drei TI-Dateien. Allgemeine Iteration und Rekursion beim Heronverfahren, beim Newtonverfahren Iteration, rekursive Folgen, Spinnwebdarstellung nun supereinfach mit MuPAD 4 (und 3) Variation des Startwertes und des Streckfaktors interaktiv: Logistische Parabel Interaktives zum Heronverfahren: siehe oben in MuPAD-4 -Dateien Heronverfahren ausführlich erklärt, Umsetzung für TI Heronverfahren zur Wurzelbestimmung (Num 5) Interaktives zum Newtonverfahren: siehe oben in MuPAD-4 -Dateien Dort auch der Beweis der superschnellen Konvergenz des Newtonverfahrens. WachstumIterationen in Spinnweb-Darstellung mit Schiebereglern in Excel,Alle Typen: linear, exponentiell, begrenzt, logistisch mit Excel download Excel-Datei
Thesen Warum Rekursion?	Rekursive Formeln sind "dicht an den Problemen" Siehe Turm von Hanoi, alle Wachstumsvorgänge, viele numerische Verfahren... Sie können oft von Schülern und Studierenden selbst gefunden werden. Das gilt von den expliziten Formeln nur selten. Die graphische Darstellung einer rekursiven Folge mit Hilfe der Trägerfunktion im "Spinnweb-Verfahren" ist leicht verständlich lässt sich leicht qualitativ von Hand durchführen lässt sich leicht anschaulich mit Computern durchführen erlaubt eine "natürliche" Fundierung des Grenzwertes ist mathematisch sehr ergiebig und aussagekräftig gibt echten Anlass zu der Frage, wie steil eine Kurve in einem Punkt ist erlaubt auch reichhaltige Aufgabenstellungen, in denen "gelerntes Handwerk" gezeigt werden kann Die Betrachtung der Attraktor-Diagramme (=Feigenbaumdiagramme) ist in der Lehre recht leicht erreichbar und dennoch von einer noch nicht ausgeloteten mathematischen Tiefe ermöglicht mit Computern eigenständiges Erkunden der Lernenden ermöglicht die Abtastung der Grenzen der Computer vermittelt eine Einsicht in typische Probleme der Numerik beleuchtet den Grenzwertbegriff durch Darstellung von mehreren Häufungswerten und chaotischem Verhalten erzeugt ein wünschenswertes "Mathematik-Bild"

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(1996) Nov. 2002, update 11. April 2011

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