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Download des MuPAD-Notebooks (280 KB)     Verküpfungsziel speichern unter...., Save Link Taget As..., unter... Gebrochenrationale Funktionen Aufgabe 3
Aus Grundkursklausur Jg.13 1998
Mathematik mit MuPAD 3.11, Prof. Dr. Dörte Haftendorn Okt. 05
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Beispiel LEVEL 1 gekürzter Term, schräge Asymptote
Beispiel LEVEL 2 ungekürzter Term, stetige Fortsetzung
Beispiel LEVEL 3 aufwendigerer Funktionsterm, e.v.t. mehrere Pole
Fall1 Gemeinsame Nullstelle höherer Vielfachheit in Zähler und Nenner
Fall2 Keine gemeinsame Nullstelle, aber Nennernullstellen höherer Vielfachheit
Aufgabe 3 aus Grundkurs-Klausur 1998 Diese Seite.
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Gegeben ist f und die Ableitung von f durch

mit
Die Ableitung brauchte in der Klausur nicht selbst berechnet zu werden.
Mit CAS geht das natürlich leicht, siehe unten.

• pZ:=x->(x-1)*(x-5);
  pN:=x->(x-k)^2;

• f:=x->pZ(x)/pN(x);   f(x)

Jedenfalls gehört x=k nicht zum Definitionsbereich.
Fall a) k=1 Man kann (x-1) kürzen. Bei x=1 bleibt aber ein Pol mit ZW,
denn x=1 bleibt einfache Nennernullstelle
Fall b) k=5 Man kann (x-5) kürzen. Bei x=5 bleibt aber ein Pol mit ZW,
denn x=5 bleibt einfache Nennernullstelle
Fall c) sonst: bei x=k ist ein Pol ohne ZW (Zeichenwechsel) ,
f hat zwei Nullstellen x=1 ; x=5
Der Gesamtverlauf:
y=1 ist Asymptote, da sich für große x etwa x*x/x^2 =1 ergibt.
Genaueres ergibt sich aus der Betrachtun g der Bausteine
pz und 1/pN
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Der animierte Graph zeigt, dass der Pol des Bausteins 1/Nenner
mit wachsendem k von linkas nach rechts wandert.
Das ist der gesamte Einfluss von k.
Hier kann man von Hand "Felderabstreichen".

• plotfunc2d(pZ(x),1/pN(x),x=-2..7,k=-1..6,
  AnimationStyle=BackAndForth)

Nun wird f dazu gezeichnet.

• plotfunc2d(pZ(x),1/pN(x),f(x),1,x=-4..7,k=-1..6
  , YRange=-5..10,LineWidth=0.6,
  AnimationStyle=BackAndForth)

Bei diesem animierten Graphen zeigt sich,
dass es für k außerhalb des Intervalls (1;5) bei x=k
ein positiver Pole ohne ZW vorliegt,
für k aus (1;5) einer negativer Pol ohne ZW.
Wie oben schon gesagt, findet bei k=1 und k=5 jeweils der
Wechsel +-> - bezw. - ->+ statt.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Berechnung der Asymtote:
Vorarbeit

• expand(pZ(x)),expand(pN(x))

• divi:=pdivide(pZ(x),pN(x),[x])

Das ist folgendendermaßen zu lesen:

• asy:=divi[2]/divi[1]

• rest:=divi[3]

also:

• f(x)=asy+rest/pN(x)

• probe:=simplify(%)
  

und das stimmt, weil im Zähler nur die Klammer aufgelöst ist.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Berechnung der Exrema:

• f'(x)

• abl:=factor(%)

• abl[2] //Klammmer herausgreifen

• solve(abl[2]=0,x)

Also hat f für k=3 kein Extremum,
x=3 ist die Scheitelstelle der Parabel, für k=3 ist f symmetrisch.
Für alle anderen gibt es genau ein Extremum.
Dabei sind aber die Polstellen ausgenommen x=k=1 und x=k=5.

Kurve der Extrema (in der Grundkursklausur nicht angesprochen)

• kde:=solve(abl[2],k)

• ke:=kde[1][1]

• kdex:=subs(f(x), k = ke)

• kdex:=factor(simplify(kdex))

• plotfunc2d(pZ(x),f(x),1,kdex,x=-4..7,k=-1..6
  , YRange=-5..10,LineWidth=0.6,
  AnimationStyle=BackAndForth)

Wenn der Pol innerhalb von (1;5) steht, liegt das Extremum außerhalb.
Die Extremstelle ist umso dichter vor 1, je dichter der Pol hinter 1 steht.
Die Extremstelle ist umso dichter hinter 5, je dichter der Pol vor 5 steht.
Die Extremstelle ist umso dichter vor 3, je weiter der Pol links nach außen rückt.
Die Extremstelle ist umso dichter hinter 3, je weiter der Pol rechts nach außen rückt.

• plotfunc2d(kdex,1/kdex,x=-3..8)

Interessanterweise ist die Kurve der Extrema die Kehrwert-Funktion
von f im Spezialfall k=3.
(Ich binn überzeugt, dass man das verallgemeinern kann!
Dann gibt es allso unendlich viele Aufgaben mit dieser Eigenschaft.
Ich bin auf weitere Beispiele gespannt.)

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