Analysis Leitseite URL haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/analysis/analysis.htm

[Didaktik] [Computer] [Funktionen und Graphen]  [Numerik] [MuPAD] [ing-math]   © Prof. Dr. Dörte Haftendorn

Download des MuPAD-Notebooks (280 KB)     Verküpfungsziel speichern unter...., Save Link Taget As..., unter... Gebrochenrationale Funktionen LEVEL 3
Aufwändigerer Term, evt. mehrere Pole
Mathematik mit MuPAD 3.11, Prof. Dr. Dörte Haftendorn Okt. 05
Web: haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt haftendorn.uni-lueneburg.de/ing-math
Achtung: Menu ->Notebook->Evaluiere->Alle Eingaben

Beispiel LEVEL 1 gekürzter Term, schräge Asymptote
Beispiel LEVEL 2 ungekürzter Term, stetige Fortsetzung
Beispiel LEVEL 3 aufwendigerer Funktionsterm, e.v.t. mehrere Pole Diese Seite.
Fall1 Gemeinsame Nullstelle höherer Vielfachheit in Zähler und Nenner
Fall2Keine gemeinsame Nullstelle, aber Nennernullstellen höherer Vielfachheit
Aufgabe 3 aus Grundkurs-Klausur 1998
#################################################################
Diese Seite ist kann man für ähnliche Beispiele leicht anpassen.
Fall 1 ------------------------------------------
Gemeinsame Nullstelle in Zähler und Nenner
Vielfachheit m>0 und n>0

• //weitere Terme ohen (x-1) können auch da sein.
  pZ:=x->(x-1)^m;
  pN:=x->(x-1)^n;

• //pZ:=x->(x-1)^m;pN:=x->(x-1)^n; 
  //dies war die Aufgabe, zu der der Test genau passt 

• f:=x->pZ(x)/pN(x);   f(x)

Jedenfalls gehört 1 nicht zum Definitionsbereich.
Fall 1 a) m=n Man kann vollständig kürzen. Bei x=1 ist eine hebbare Unstetigkeitsstelle.
Fall 1 b) m>n Man kann den Nenner vollständig wegkürzen.
Bei x=1 ist eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Die stetige Fortsetzung hat eine Nullstelle
der Vielfachheit m-n. (Begriffe siehe LEVEL 2)
Fall 1c) m<n Man kann den Zähler vollständig wegkürzen.
Bei x=1 ist eine Polstelle vom Grad n-m. (Siehe unten Fall 2)
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Beispiel 1b):

• pZ1b:=x->(x-1)^4*(x+6);
  pN1b:=x->(x-1)^2*(x-4);
  f1b:=x->pZ1b(x)/pN1b(x);
  f1b(x);

• plotfunc2d(f1b(x),x=-10..10)

Zu erwarten ist eine Parabel-Asymptote, da Zählergrad-Nennergrad=5-3=3-1=2 ist

• teile:=divide(pZ1b(x),pN1b(x))

• teile[1]

• plotfunc2d(f1b(x),teile[1],x=-10..10)

Der wahre "Rest" ist übrigens 90, denn:

•  divide(teile[2],(x-1)^2)

Probe, die stetige Fortsetzung als Parabel+Hyperbel

• probe:=teile[1]+90/(x-4)

• simplify(probe-f1b(x))

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Beispiel 1c):

• pZ1c:=x->(x-1)^2*(x+3);
  pN1c:=x->(x-1)^4*(x-2);
  f1c:=x->pZ1c(x)/pN1c(x);
  f1c(x);

• plotfunc2d(f1c(x))

Links ist bei x= - 3 ist noch eine Nullstelle zu erwarten. (wegen (x+3)-Faktor).
Die x-Achse ist Asymptote, da der Nennergrad größer als der Zählergrad ist.

• plotfunc2d(f1c(x),x=-10..-2)

#################################################################
Fall 2 ------------------------------------------
Keine gemeinsame Nullstelle, aber Nennernullstellen höherer
Vielfachheit

• f2k:=x->1/(x-1)^k

Definition Eine Polstelle x=a hat den Grad k, wenn im gekürzten Term der
Nenner eine Nullstelle vom Grad k (= Vielfachheit k) , also den Faktor (x-a)^k hat.
Man sagt auch "f hat bei x=a einen Pol vom Grad k".

• alle:=f2k(x)$ k=1..7

• plotfunc2d(alle,x=-2..3,ViewingBoxYRange=-3..3)

Fazit:
Ist k gerade, so handelt es sich um einn Pol mit Vorzeichenwechsel.
Ist k ungerade, so handelt es sich um einn Pol ohne Vorzeichenwechsel.
Jeder Linearfaktor (des gekürzten Terms) in Zähler und Nenner hat seinen vorhersagbaren
Einfluss.

• pZ2:=x->(x-1)^2*(x+2);
  pN2:=x->(x+1)^2*(x-2)^3;
  f2:=x->pZ2(x)/pN2(x);
  f2(x);
  plotfunc2d(f2(x),x=-5..5,ViewingBoxYRange=-1..1)

Also konnte man vorhersagen:
Eine einfache Nullstelle bei x=-2, ein Pol ohen Zeichenwechsel bei x=-1,
eine Berühr-Nullstelle bei x=1, ein Pol mit Zeichenwechsel bei x=2.

[Didaktik] [Computer] [Funktionen und Graphen] [Numerik] [MuPAD] [ing-math]

Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn  2005, update 14. August 2011

Direkte Internetadressen  [www.doerte-haftendorn.de]     [haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt]   [haftendorn.uni-lueneburg.de/ing-math]