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Selbstähnlichkeits-Dimension d

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Nikolaushaus

Zweig-Arbeitsblatt

Ein Fraktal wird "streng selbstähnlich" genannt, wenn es aus gleichen Bausteinen besteht, die bei passender Vergrößerung genau wie das ganze Fraktal aussehen.

Leider kann man nie ein Fraktal genau zeichnen, sondern immer nur in "Stufen". Oft kann man ab der 3. Stufe schon sehen und überlegen wie es weitergeht, wenn die Stufenzahl immer mehr erhöht wird.

Die "Kochkurve" ist in dieser Hinsicht schön übersichtlich. z = 4 Bausteine

Streckfaktor k = 3 -------------------> auf das Ganze

Wenn also z Bausteine das ganze Fraktal bilden und jeder Baustein, gestreckt mit dem Faktor k, ebenfalls das ganze Fraktal bildet, dann muß man ein Maß, das diese Abbildung "mitmacht", auf zweierlei Arten berechnen können:

• Maß _neu = Maß _alt • z und Maß _neu = Maß _alt • k ^d
• also Maß _alt • z = Maß _alt • k ^d

Dann ergibt sich .
Dabei kann log jeder Logarithmus sein.

Für die Kochkurve errechnet man nun: Selbstähnlichkeits-Dimension.

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Suche in den folgenden Fraktalen passende Bausteine, rahme sie farbig ein.

Nicht alle diese Bilder sind streng selbstähnlich. In diesen Fällen ist die Dimensionsberechnung unsinnig.

Fraktale Dimension	Hinführung zum Begriff	Selbstähnlichkeits-Dimension
Box-Dimension	Messung der Boxdimension	Raster für Boxdimension

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