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Kegelschnitte und Dandelinsche Kugeln

Dandelin Germinal Pierre, französisch-belgischer Mathematiker und Physiker, geb. 12.4.1794 Le Bourget (bei Paris), gest. 15.2.1847 Brüssel. Nach einem Studium in Gent und Paris lehrte Dandelin von 1825 bis 1830 Bergbauingenieurwesen in Liège. Danach diente er in der belgischen Armee, lehrte Physik am Athenaeo in Namur und war Ingenieur-Oberst in Liège und später in Brüssel.
Der Begriff der Dandelinschen Kugeln geht auf ihn zurück. Dandelin bewies, daß die Berührungspunkte der Kugeln mit der Ebene gerade die Brennpunkte des Kegelschnittes der Ebene mit dem Kegel sind.
Er erweiterte dieses Resultat für allgemeine Rotationsflächen.
Damit konnte er 1826 den Pascalschen Satz über Sehnensechsecke von Kegelschnitten bzw. das Dual, den Satz von Brianchon über Tangentensechsecke an Kegelschnitten beweisen. 1823 veröffentlichte er ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung n-ten Grades, das Dandelin- Gräffin-Verfahren.
Zylinderschnitt, Ellipsen
Kegelschnitt, Ellipsen
Kegelschnitt, Parabeln
    Was es hier jeweils gibt:
  • ein großes 3d-Bild
  • Dasselbe 3d-Bild, aber mit animierten Linien. Es steht auf einer Extraseite, da es 2-3 MB groß ist.
  • Text des Beweises, dass es sich um die behauptete Figur handelt.
  • Druckfähige -Seite dazu, das Wichtigste für die "Mappe".
  • Querschnittzeichnung mit den Bezeichnungen,die bei der MuPAD-Realisierung verwendet sind. Diese können auch als Grundlage für eine Unterrichtssituation verwendet werden.
  • GeoGebra-Applet   und download der GeoGebra-Datei dazu
  • Dieselbe Zeichnung und die notwendigen Herleitungen für die 3d-Darstellung als -Seite.
    Dies ist ein wunderbares Beispiel dafür, dass die schönen Computerwerkzeuge die mathematische Arbeit nicht ersetzen. Ohne solides Handwerk entsteht gar nichts von alleine.
    Das sei all denjenigen ins Stammbuch geschrieben, die glauben, dass das Erlauben der Werkzeuge weniger Mathematik bei den Lernenden ermöglicht. Letztere können daraus lernen, dass sie ihre handwerkliche Ausbildung nicht vernachlässigen dürfen.
  • MuPAD-Notebook, mit der das 3d-Bild schließlich hergestellt worden ist.
    Es ist als MuPAD-web-Datei, als pdf-Version und als download verfügbar. Letzteres ist das Beste für eine Lehrsituation, denn man kann das animierte Bild mit der Maus drehen und von allen Seiten betrachten und didaktisch sinnvoll anhalten. Und die ganze Datei ist dennoch nun etwa 50 KB groß.

Zylinderschnitt, Ellipsensalami und Dandelinsche Kugeln

Es gibt eine animierte Version (2 MB)

Erklärung und Beweis


Die grün-blaue Stange auf dem Zylindermantel ist überall gleichlang.

Die Punkte, an denen die Kugeln die Ebene Berühren sollen Foben und Funten heißen Der Punkt, an dem die Stange die schräge Ebene durchstößt, der Punkt heiße P, ist vom oberen Berührkreis und von Foben gleich weit entfernt, wie man sich leicht überlegt. Ebeenso ist er vom unteren Berührkreis und von Funten gleich weit entfernt. Nun ist die grün-weiße Stange auch auf der Ebene zu sehen, also ist die Summe der Entfernungen von P von Foben und Funten konstant. Diese Aussage ist gerade sie Fadenkonstuktion der Ellipse. Also handelt es sich um eine bei der Schnittkurve um eine Ellipse.
Schneidet man also eine Salami-Wurst, so sind die Scheiben nicht nur irgendwie oval, sondern sie sind wirkliche Ellipsen.
Daher bekommen meine meine Studis am letzten Semestertag bei mir "Ellipsen-Salami". Siehe Einladung
Sinuswurst
  • Schneidet man die Pelle der Wurst wie im Bild gezeigt auf, nachdem man die Wurst schräg angeschnitten hat, so erhät man eine Sinus-Berandung. Es muss sich aber bei der Wurst um einen Kreiszylinder handeln.
    Die untere gerade Kante hat die Länge 2*Pi*r. Als Parameterdarstellung des geraden Schnitt-Kreises eignet sich: x= r cos( phi/r), y= r sin( phi/r), wenn nämlich der am Rand der Wurst durchlaufene Weg 2 Pi r ist, haben diese beiden Winkelfunktionen gerade eine Periode durchlaufen. Die Parameterdarstellung von z kann man der obigen Zeichung entnehmen, die Gerade hat die Gleichung z=e/r x+ c, also z= e/r r cos( phi/r) +c= e cos(phi/r) +c.
    Setzt man den Ursprung um Pi/2 r nach links ergibt sich z= e sin(phi/r) +c.
  • Sinuswurst-Pelle interaktiv    
  • Kegelschnitt, Ellipse und Dandelinsche Kugeln

    Es gibt eine animierte Version (2 MB)
    Erklärung und Beweis
    Die grün-blaue Stange auf dem Kegelmantel ist überall gleichlang.

    Die Punkte, an denen die Kugeln die Ebene Berühren sollen Foben und Funten heißen Der Punkt, an dem die Stange die schräge Ebene durchstößt, der Punkt heiße P, ist vom oberen Berührkreis und von Foben gleich weit entfernt, wie man sich leicht überlegt. Ebeenso ist er vom unteren Berührkreis und von Funten gleich weit entfernt. Nun ist die grün-weiße Stange auch auf der Ebene zu sehen, also ist die Summe der Entfernungen von P von Foben und Funten konstant. Diese Aussage ist gerade sie Fadenkonstuktion der Ellipse. Also handelt es sich um eine bei der Schnittkurve um eine Ellipse.
    Schneidet man also einen Kegel, so sind die Schnittränder nicht nur irgendwie oval, sondern sie sind wirkliche Ellipsen.
    Daher bekommen meine meine Studis am letzten Semestertag bei mir "Kegelschnittkuchen". Siehe Einladung

    Kegelschnitt Parabel, Dandelinsche Kugel

    animierte Version (2 MB)
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