Komplexe Zahlen und FunktionenDie Erweiterung von den reellen Zahlen![]() ![]()
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Darstellung | In der Gaußschen Zahlenebene haben die komplexen Zahlen die Gestalt![]() Dabei heißt a der Realteil von z, Re(z) und b der Imaginärteil von z Im(z). Der reelle Zahlenstrahl heißt nun "reelle Achse", die senkrechte Achse enthält alle reelle Zahlen versehen mit dem Faktor i, wobei ![]() |
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Strichrechnung | Die Addition erfolgt in der Gaußschen Zahlenebene entsprechend der Vektoraddition, ebenso die Subtraktion![]() |
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Multiplikation | Die Multiplikation ist algebraisch passend definiert:
![]() Visualisierung: ![]() ![]() ![]() |
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Division | ![]() ( ![]() |
Darstellung | ![]() |
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Taylorreihen | ![]() Sieht man sich die Taylorreihen von cos, sin und e an, dann erkennt man die strukturelle Gleichheit. Die e-Funktion ergibt sich nicht als Summe, da stimmen die Vorzeichen nicht. Nimmt man aber nicht t als Argument der e-Funktion sondern it, so passt es: |
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Eulersche Formel Polardarstellung |
Also gilt die Eulersche Formel ![]() und für komplexe Zahlen gilt die Polardarstellung: ![]() r heißt Betrag von z und phi heißt Argument von z, oder (Argument)-Winkel von z |
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Multiplikation | ![]() Winkel verdoppeln, Betrag quadrieren ![]() Beträge multipizieren, Winkel addieren ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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TI nspire |
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Division | ![]() Kehrwert des Betrages und Negatives des Winkels nehmen: ![]() Quotient der Beträge und Differenz der Winkel nehmen: Geometrische Erzeugung des Inversen mit Stahlensatz ![]() ![]() ![]() Geometrische Erzeugung des Inversen mit Inversion am Kreis ![]() ![]() ![]() Weiteres zur Inversion |
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