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Zahlbereichserweiterungen

"Aufbau des Zahlsystems"

Auf dieser Seite sollen einige tragende Gedanken aller Zahlbereichserweitungen betrachtet werden.
Schwerpunkt liegt zunächst auf den algebraischen Erweiterungen. Der Übergang von den rationalen

zu den reellen Zahlen

folgt anderen Überlegungen. Die Erweiterung von den reellen Zahlen

zu den komplexen

ordnet sich aber bei den algebraischen Erweiterungen ein.

Definition	Äquvalenzrelation Anwendung auf das Modulo-Rechnen und Kryptografie
Paarbildung	Jedes Paar P=(a,b) lässt sich im Koordinatensystem darstellen. Von nach : a, b sind aus , Alle P sind Gitterkreuzungspunkte im 1. Quadranten. Von nach : a, b sind aus , Alle P sind Gitterkreuzungspunkte im 1. Quadranten. Von nach : a, b sind aus : Alle P sind Gitterkreuzungspunkte in allen Quadranten. Von nach : a, b sind aus : Alle P sind haben rationale Koordinaten im 1.Quadranten. Von nach : a, b sind aus : Alle P sind haben reelle Koordinaten in allen Quadranten.
Äquivalenz	Von nach : a,b) äq (x,y) genau dann wenn a y = b x Zu (a,b) sind alle Paare (x,y) äquivanent, die auf der Ursprungsgeraden a y=b x liegen, also der Geraden y=b/a x (nur Gitterpunkte im 1. Quadranten!) Dieses entspricht der Gleichheit von Brüchen, die durch Erweitern oder Kürzen auseinander hervorgehen können. Von nach : (a,b) äq (x,y) genau dann wenn a+y = b + x Zu (a,b) sind alle Paare (x,y) äquivalent, die auf der Geraden y+a=x+b mit Steigung 1 durch (a,b) liegen, also der Geraden y=(x-a) +b (nur Gitterpunkte im 1. Quadranten!)Für die Vorstellung "differenzengleiche Zahlenpaare" Von nach : (a,b) äq (x,y) genau dann wenn a+y = b + x Zu (a,b) sind alle Paare (x,y) äquivalent, die auf der Geraden y+a=x+b mit Steigung 1 durch (a,b) liegen, also der Geraden y=(x-a) +b (nur rationale nichtnegative Koordinaten!) Von nach : (a,b) äq (x,y) genau dann wenn a y = b x Zu (a,b) sind alle Paare (x,y) äquivanent, die auf der Ursprungsgeraden a y=b x liegen, also der Geraden y=b/a x (nur Gitterpunkte aller Quadranten!) Von nach : Hier gibt es keine Äquivalenzklassenbildung bei der Zahlbereichserweiterung. Jedes Paar (a,b) ist eine eigene komlexe Zahl für sich.
Definition der Summe	Von nach und von nach : (a,b)+(c,d):=(a d + b c , b d), dies entspricht der Summe von Brüchen. Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Zu zeigen bleibt die Repräsentantenunabhängigkeit. Das heißt: Nimmt man statt (a,b) einen anderen erlaubten Punkt der Ursprungsgeraden durch (a,b) und nimmt man statt (c,d) einen anderen erlaubten Punkt der Ursprungsgeraden durch (c,d), so ergibt sich als Summe ein anderer erlaubter Punkt der Ursprungsgeraden durch (a d + b c , b d). Visualisierung: Bruchzahlen-Summe Die "falsche Summe" zeigt, dass die falsche Regel "...Zähler+Zähler, Nenner+Nenner" nicht Repräsentantenunabhängig ist. Setze dazu Spur auf FS. Formaler Beweis Von diesem Kaliber sind alle Beweise, die in diesem Thema bei formal-strengem Vorgehen notwendig sind. Hinzu kommt noch die Betrachtung von Sonderfällen, die die 0 an der rechten Stelle des Paares betreffen, also eigentlich dazu dienen, die Division durch 0 vermeiden. Grundprinzip aller dieser Beweise ist der Rückgriff auf die Gesetze, die in dem Ausgangs-Zahlbereich schon gelten. Ziel aller Definitionen ist die "Rettung" aller dieser Gesetze, sie sollen in dem zu konstruierenden Zahlbereich weiter gelten und der ursprüngliche Zahlbereich soll eingebettet werden. Damit man etwas Handwerk lernt, sind hier die Durchführungen der Mal-Erweitung für die beiden Übergamge Natürliche Zahlen zu Bruchzahlen, und Ganze Zahlen zu Rationale Zahlen. Es ist mit dem Durchhalten aller Beweise kein weiterer Erkenntnisgewinn verbunden. Das geht jetzt nach dem Motto "..... wir denken uns die Dose offen" mehr zu dem Witz mit der Dose.. Von nach und von nach : (a,b)+(c,d):= (a+c,b+d). Dieses entspricht der Vektordefinition. Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Zu zeigen bleibt die Repräsentantenunabhängigkeit. Das heißt: Nimmt man statt (a,b) einen anderen erlaubten Punkt der Geraden durch (a,b) mit Steigung 1 und nimmt man statt (c,d) einen anderen erlaubten Punkt der Geraden durch (c,d) mit Steigung 1 so ergibt sich als Summe ein anderer erlaubter Punkt der Geraden durch (a+c,b+d) mit Steigung 1. Visualisierung: Ganze-Zahlen-Summe bzw. Rationale-Zahlen-Summe Von nach (a,b)+(c,d):= (a+c,b+d). Dieses entspricht der Vektordefinition. Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Die Repräsentantenunabhängigkeit braucht nicht gezeigt zu werden, denn man bildet gar keine Äquivalenzklassen.
Definition des Produktes	Von nach und von nach : *(a,b)(c,d):=(a * c , b* d)*, dies entspricht dem Produkt von Brüchen. Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Zu zeigen bleibt die Repräsentantenunabhängigkeit. Das heißt: Nimmt man statt (a,b) einen anderen erlaubten Punkt der Ursprungsgeraden durch (a,b) und nimmt man statt (c,d) einen anderen erlaubten Punkt der Ursprungsgeraden durch (c,d), so ergibt sich als Summe ein anderer erlaubter Punkt der Ursprungsgeraden durch (a c , b d). Visualisierung: Bruchzahlen-Produkt Von nach und von nach : (a,b)(c,d):= (a c + b d,a d + b c). Dies findet man aus (a-b)(c-d). Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Zu zeigen bleibt die Repräsentantenunabhängigkeit. Das heißt: Nimmt man statt (a,b) einen anderen erlaubten Punkt der Geraden durch (a,b) mit Steigung 1 und nimmt man statt (c,d) einen anderen erlaubten Punkt der Geraden durch (c,d) mit Steigung 1 so ergibt sich als Summe ein anderer erlaubter Punkt der Geraden durch (a+c,b+d) mit Steigung 1. Visualisierung: Ganze-Zahlen-Produkt bzw. Rationale-Zahlen-Produkt Siehe auch extra Leitseite Komplexe Zahlen und Funktionen Von nach (a,b)(c,d):= (a c - b d, a d + b c).* Dies findet man aus (a+ib)(c+id). Dies ist erlaubter Punkt, also ist die Abgeschlossenheit der Addition gesichert. Die Repräsentantenunabhängigkeit braucht nicht gezeigt zu werden, denn man bildet gar keine Äquivalenzklassen. Visualisierung:Komplexe Zahlen, Summe und Produkt Geometrische Erzeugung des Produktes Komplexe Zahlen, Produkt geometrisch Geometrische Erzeugung des Inversen mit Inversion am Kreis Komplexe Zahlen, Inverses geometrisch mit Inversion am Kreis Weiteres zur Inversion Geometrische Erzeugung des Inversen mit Stahlensatz Komplexe Zahlen, Inverses geometrisch mit Strahlensatz
Algebraische Stukturen	Die Axiome für Halbgruppen, Gruppen, Halbringen, Ringen und Körpern sind auf den Seiten "Gruppenbegriff" und Körperbegriff zusammengestellt. Regularität: aus a+d=c+d folgt a=c b.z.w. aus a d = c d folgt a=c. Gruppen sind sowieso regulär. In Halbringen, Ringen und Körpern gilt das Distributivgesetz von * über + , also a(b+c)=ab+ac. (, +,) ist kommutativer Halbring mit 0 und 1 Er ist regulär bzl. + und * und besitzt eine Totalordnung, das heißt es gibt den Zahlenstrahl [0,unendlich) mit 0,1,2,3,4,5.... (, +,) ist der Zahlbereich der Klassen 1 bis 5 (alter Zählung). (, +,) ist kommutativer Halbring mit 0 und 1 Er ist regulär bzl. + (und ) und besitzt eine Totalordnung. (,) ist (ohne 0) eine kommutative Gruppe. Der Zahlenstahl [0,unendlich) ist dicht, d.h. zwischen je zwei Bruchzahlen gibt es stets eine weitere Bruchzahl, d.h. man kann die Bruchzahlen zwar ordnen, aber nicht der Größe nach notieren. (, +,) ist der in Klasse 6 (alter Zählung) eingeführte Zahlbereich. (, +,) ist kommutativer Ring mit 0 und 1, das bedeutet (,+) ist kommutative Gruppe. Er ist regulär bzl.( + und) * und besitzt eine Totalordnung, das heißt es gibt den Zahlenstrahl (-unendlich,unendlich) mit ....-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.... (, +,) ist der in Klasse 7 (alter Zählung) eingeführte Zahlbereich, der sofort* durch die Erweiterung von nach ergänzt wird. (, +,) ist kommutativer Körper* mit 0 und 1, das bedeutet (,+) ist kommutative Gruppe, (,) ist kommutative Gruppe und es gilt das Distributivgesetz von über + , also (, +,) hat eine Totalordnung, das heißt es gibt den Zahlenstrahl (-unendlich,unendlich). Er ist dicht, d.h. zwischen je zwei Bruchzahlen gibt es stets eine weitere Bruchzahl, d.h. man kann die Bruchzahlen zwar ordnen, aber in keinem Intervall der Größe nach notieren. In (, +,) gelten Klammeregeln, Binomische Formeln u.s.w. und man verbringt Klasse 8 (alten Zählung) mit dem Erlernen aller Regeln. Von (, +,) nimmt man zuerst Wurzeln dazu (algebraische Erweiterungskörper). Das aber reicht nicht, umm für alle konvergenten Folgen einen Grenzwert anzugeben. Man definiert "reelle Zahlen" so, dass alle Grenzwerte konvergenter Folgen auch erfasst werden können. Man sagt wegen dieser Eigenschaft: (, +,) ist völlständiger Körper. Näheres dazu auf einer Extraseite reelle Zahlen. kann durch den Zahlenstrahl eindeutig dargestellt werden, d.h. jeder Punkt des Zahlenstrahles markiert genau eine reelle Zahl und jede reelle Zahl hat ihren eindeutigen Platz auf dem Zahlenstrahl. Dadurch hat auch eine Totalordnung. (, +,*) ist ebenfalls ein vollständigiger Körper, der sich aber nicht anordnen lässt. Die beiden reellen Achsen, die zur Konstruktion benötigt wurden können als "reelle Achse" und "imaginäre Achse" degeutet werden. Siehe Darstellung und Einbettung.
Einbettung und Darstellung	Grundsätzlich werden äquivalente Zahlenpaare zu Klassen zusammengefasst und die Klassen sind dann die Objekte, für die man die oben genannten algebraischen Eigenschaften beweist. . Eine solche Konstruktion von Objekten neuer Art nennt man "Reifikation" (sprich re-ifikation). Nun bleibt zweierlei zu tun: Der alte Zahlbereich muss in die neu aufgebaute Klassen-Struktur "eingebettet" werden. Man muss die Klassen und die Paarschreibweise zugunsten der üblichen Schreibweisen wieder loswerden. Von nach Für die Einbettung braucht man eine Abbildung mit , die "strukturverträglich ist: "Die Summe der Bilder ist gleich dem Bild der Summe." ebenso ist zu zeigen: "Das Produkt der Bilder ist gleich dem Bild des Produktes." Eine solche strukturverträgliche Abbildungen heißt ganz allgemein "Homomorphismus". Ist die Abbildung zusätzlich eine Bijektion (eineindeutig auf...) heißt sie "Isomorphismus". Zur Darstellung definiert man: . Zum Glück hat man alles so eingerichtet, dass das ganze "Gesetzeswerk" von oben nun die normale Bruchrechnung ergibt, wie man sie sich an Torten, Pizza und Schokolade klarmachen kann. Hier reift auch die Erkenntnis, dass der Weg über die Zahlenpaare schulisch völlig unbrauchbar ist. Das Bruchsymbol bewahrt ja wenigstens noch die Paarbildung und äquivalente Paare sind Brüche, die durch Kürzen und Erweitern auseinander hervorgehen können. Man nun auch sagen: Die Natürlichen Zahlen mit plus und mal sind isomorph zu den Brüchen mit Nenner 1 mit plus und mal der Bruchrechnung. Übrigens: Schüler trauen sich oft nicht, die 1 im Nenner wegzulassen! Da steckt ja eine tiefe Wahrheit drin! Von nach : Für die Einbettung braucht man eine Abbildung mit . Für die Darstellung muss man sich fachwissenschaftlich etwas mehr anstrengen, da die Paarbildung in der übelichen Schreibweise nicht erhalten bleibt. Man muss klären, dass es nur drei Klassentypen gibt . Äquivalente Zahlenpaare sind solche mit "gleicher Differenz", also (5,12) äq (18,9)äq.... äq (0,7). Während in der Schule 5-12 bzw. k-z allgemein überhaupt keine Probleme macht, gehört zur strengen Fachwissenschaft hier und . Auch die ausführlichsten Bücher deuten hier nur an. Es lohnt auch nicht, hier alles zu notieren, ich verweise lieber auf meine Vorschläge zum Unterricht und die interaktiven Dateien zu Summe und Differenz Von nach und von nach läuft entsprechend. Schulisch entsteht hier kein besonderes Problem, weil jedem klar ist, dass der nach links fortgeführte Zahlenstrahl auch Bruchzahlen zwischen den negativen ganzen Zahlen enthalten kann. Für Lehrer interessant ist allerdings, dass der Ausdruck aus der Erwiterung von Z nach Q stammt, während aus der Erweiterung von B nach Q kommt. Daher ist es durchaus nicht trivial, dass hier dieselbe rationale Zahl gemeint ist. Auch mit dieser Erklärung geben sich die ausführlichsten fachwissenschaftlichen Bücher nicht ab. Und wenn Sie es täten, würde die Erklärung dem Lehrer für seinen Unterricht nichts nützen. Da muss man sich Anderes einfallen lassen. Von nach ist ja keine solche algebraische Erweiterung, dennoch sind auch hier Einbettung und einheitliche Darstellung nötig. Siehe auf der Seite reelle Zahlen. Von nach In der reellen Achse kann man das eingebette R direkt sehen. Die Darstellung in der Form lässt noch die Paarbildung erkennen. Die Definitionen der Rechnungen sind passend zu den Regeln von R so eingerichtet, als wäre i eine Variable. Wegen haben auch nach Multiplikationen alle Terme diese Standardform mit höchstens einem i. Beachte hierzu auch Siehe auch extra Leitseite Komplexe Zahlen und Funktionen