Analysis Leitseite URL haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/analysis/analysis.htm |
[Differenzialrechnung]
[Analysis]
[Didaktik] [Computer] [Funktionen und Graphen] [Numerik] [MuPAD] [ing-math] [Polynome] |
[Sinus] [Kosinus] [Werkzeuge] Beweise: [Differenzenquotient] [Ableitung] [Asymptoten] [Vorzeichenwechselkriterium] | |
k=0 | Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0 und sonst stetig.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0. Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0. Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an. Interaktive Erkärung als Verkettung Gesamtbetrachtung |
k=1 | Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0. Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst aber überall. Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an. Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0. |
k=2 | Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0. Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er den Wert 0. Die Steigung nimmt in jeder kleinen Umgebung von x=0 jeden Wert zwischen -1 und 1 an. Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig-differenzierbar. Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0, ist aber dennoch nicht stetig. |
k=3 k>3 | Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0. Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er den Wert 0. Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0 und ist dort auch stetig. Die Steigung konvergiert für x gegen 0 ebefalls gegen 0. Die Funktion ist überall differenzierbar und sogar überall stetig-differenzierbar. |
ggb | Alle weiteren Fälle in günstiger Darstellung |
CAS |
|
[Sinus] [Kosinus] [Differenzenquotient] [Ableitung] [Asymptoten] [Vorzeichenwechselkriterium] | |
k=0 | Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0 und sonst stetig.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0. Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0. Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an. Interaktives Verständnis als Verkettung |
k=1 | Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0. Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst aber überall. Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an. Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0. |
k=2 | Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0. Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er der Wert 0. Die Steigung nimmt in jeder kleinen Umgebung von x=0 jeden Wert zwischen -1 und 1 an. Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig-differenzierbar. Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0, ist aber dennoch nicht stetig. |
k=3 k>3 | Die Funktion ist überall stetig auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0. Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er den Wert 0. Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0 und ist dort auch stetig. Die Steigung konvergiert für x gegen 0 ebefalls gegen 0. Die Funktion ist überall differenzierbar und sogar überall stetig-differenzierbar. |
ggb | Alle weiteren Fälle in günstiger Darstellung |
CAS |
|
Untersuchung des Differenzenquotienten an der Stelle x=0 | |
Ableitungen | |
Asymptoten |
Beispiel einer stetig-differenzierbaren Funktion, die eine relatives Minimum hat, bei dem das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist. | |
Man sieht deutlich, dass es sich um eine relatives Minimum handet. Es ist die oben als stetig-digfferenzierbar nachgewiesene Funktion auf eine Potenzfkt 4. Grades aufgesetzt, daher ist auch diese Funktion stetig-differenzierbar. Hier sieht man deutlich , dass die stetige Ableitung, die man nicht "durchzeichnen" kann, nicht für x<0 negativ und für x>0 positiv ist. Also ist trotz des Minimums das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt. | |
Wer nix weiß sieht nix
Hauptfall, Minimum ohne VZW, alle Fälle k=2-Fall | |
Bei Riemann | Weitere Zusammehänge, Nicht-Integrierbarkeit .... |
[Differenzialrechnung] [Analysis] [Didaktik] [Computer] [Funktionen und Graphen] [Polynome] [Numerik] [MuPAD] [ing-math] |
Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn 2005, update |
Direkte Internetadressen [www.doerte-haftendorn.de] [haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt] |